BZOJ 1426: 收集邮票

1426: 收集邮票

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Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

HINT

Source

分析：

 如果我们现在把问题简化一下，每次买的费用都是$1$，那么就很简单了，就是求期望次数，但是现在随着次数的增长，费用也在增长，如果我们还是正着去$DP$的话就无法转移了，所以我们考虑倒着推，但是发现没有边界...

再思考一下，或许我们可以把问题转化，我们现在假设每次的费用还是$1$，但是这样第$i$次购买就使得以后每一次的费用都增加了$1$，也就是总费用增加了后面的期望购买次数...所以我们设$f[i]$代表购买第$i+1$种邮票到第$n$种邮票的期望购买次数，$g[i]$代表期望购买费用...

$f[i]$很好求，$f[i]=f[i+1]+\frac {n}{n-i}$

$g[i]=\frac {i}{n}(1+f[i]+g[i])+(1-\frac {i}{n})(1+f[i+1]+g[i+1])$

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;

const int maxn=10000+5;

int n;

double f[maxn],g[maxn];

signed main(void){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
		f[i]=f[i+1]+1.0*n/(double)(n-i); 
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
		g[i]=f[i+1]+g[i+1]+1.0*i/(double)(n-i)*f[i]+1.0*n/(double)(n-i);
	printf("%.2f\n",g[0]);
	return 0;
}

　　

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By NeighThon