博弈知识（二）

有关取火柴的游戏

桌上有N堆火柴棒，每一堆火柴棒的数量是任意的。两人按下面的游戏规则轮流取走这些火柴棒：

1，每次只允许从其中一堆取走火柴棒，

2，在选定的那一堆，可取走任意数量的火柴棒（例如，可以全部拿走），但每次至少要取走一根，

3，最后一次取走火柴棒的人获胜。/最后一次取走火柴棒的人失败

 

首先解决第一个问题：

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；

         否则，即所有火柴异或不为0， 为利己态，用S表示。

则一定有以下性质：

1、对于任何一个S态（利己态），总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态（利他态）。

2、同理任何T态（利他态），取任何一堆的若干根，都将成为S态（利己态）。

3、当为S态（利己态）时，只要方法正确，必赢。 

     最终胜利即由S态转变为T态，任何一个S态，只要把它变为T态，（由定理1，可以把它变成T态。）对方只能把T态转变为S态(定理2)。

     这样，所有S态向T态的转变都可以有己方控制，对方只能被动地实现由T态转变为S态。故S态必赢。

4、T态，只要对方法正确，必败。

     同理3

 

接着来解决第二个问题：
定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。
定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2，则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0表示

 

孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位

但充裕堆会影响高位（非最后一位）

一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

 

则有以下的性质

5、S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜（充裕堆的堆数为0）。

    S0态，其实就是每次只能取一根。

    每次第奇数根都由己取， 第偶数根都由对方取，所以最后一根必己取。

    败。同理,  T0态必胜#

6、 S1态，只要方法正确，必胜。

     若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完；否则，取成一根。

    这样，就变成奇数个孤单堆，由对方取。由定理5，对方必输。己必胜。  #

7、S2态不可转一次变为T0态

8、S2态可一次转变为T2态。

9、T2态，只能转变为S2态或S1态。 

10、S2态，只要方法正确，必胜. 

 

 11、T2态必输。