博弈知识（一）

开篇：博弈是信息学和数学试题中常会出现的一种类型，算法灵活多变是其最大特点，而其中有一类试题更是完全无法用常见的博弈树来进行解答。

          寻找必败态即为针对此类试题给出一种解题思路。

特点：

1、博弈模型为两人轮流决策的非合作博弈。即两人轮流进行决策，并且两人都使用最优策略来获取胜利。

2、博弈是有限的。即无论两人怎样决策，都会在有限步后决出胜负。

3、公平博弈。即两人进行决策所遵循的规则相同。

 

巴什博弈

1、问题：

    有一堆物品总共n个，两个人轮流从这堆物品中拿东西，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者胜利

2、解决方法：

    如果有n==m+1,则无论先手拿几个，必然后手胜

    那么我们可以知道

    如果 n==(m+1)*r+s;

    只要先手第一次拿了s个，如后取者拿k个，先手再拿m-1-k个，也就是一直保持m+1的倍数个时

    必有先手胜

 

尼姆博弈

1、问题模型：

    有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

2、解决思路：

    用（a，b，c）表示某种局势，

    显证（0，0，0）是第一种奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。

    第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。

    此类型的必败态为(a,b,c)是必败态等价于a^b^c=0(^表示异或运算）。

    任何奇异局势（a，b，c）都有a^b……c =0。

   如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？

   假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,

   因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。

   要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。

 

 例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达
到奇异局势（14，21，27）。

    例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品
就形成了奇异局势（55，81，102）。

    例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，4
5，48）。