除数博弈

描述：

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示：

1 <= N <= 1000

思路：

这道题有两种方法可以解，一种是数学归纳法，一种是动态规划法，这里主要讲动态规划。

数学归纳：

最终结果应该是占到 2 的赢，占到 1 的输；

若当前为奇数，奇数的约数只能是奇数或者 1，因此下一个一定是偶数；

若当前为偶数， 偶数的约数可以是奇数可以是偶数也可以是 1，因此直接减 1，则下一个是奇数；

因此，奇则输，偶则赢。

动态规划：

将所有的小于等于 N 的解都找出来，基于前面的，递推后面的。

状态转移: 如果 i 的约数里面有存在为 False 的（即输掉的情况），则当前 i 应为 True；如果没有，则为 False

java:

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        if (N <= 1 || N == 2) {
            return N == 2;
        }
　　　　 boolean[] tag = new boolean[N + 1];
        tag[1] = true;
        tag[2] = false;

        for (int i = 3; i < tag.length; i++) {
            tag[i] = false;
            // 约数范围，超过i/2的时候，i不存在约数
            for (int j = 1; j < i / 2; j++) {
                if (i % j == 0 && tag[i - j] == false) {
                    tag[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return tag[N];
    }
}

结果：

python3:

class Solution:
    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        if N == 1 or N == 2:
            return N == 2
        tag = [False for i in range(0, N + 1)]
        tag[2] = True
        for i in range(3, N + 1):
            for j in range(1, i // 2):
                if i % 2 == 0 and tag[i - j] == False:
                    tag[i] = True
                    break
        return tag[N]

结果：