线段树合并复杂度证明

以CF600E为例，没看过题目的先去看题。
本题的线段树做法，即对题目所给树中每个结点所在子树建树维护数字出现情况。此做法中，当前节点和其兄弟节点对应的线段树需要合并到父节点上，最后父节点上权值update到新树。也就是说对于每个非叶子节点，其有x个子节点，就要合并x次（其实也可以看成x-1次，第一次是合并到空节点上，复杂度忽略不计）。
画出线段树结构示意图，如下

首先区分开做法中update和merge的复杂度，update不用谈，稳定logn复杂度。
对于merge复杂度，我们考虑线段树上每个节点，分析每个节点在所有merge操作可能被访问多少次即可。
对于线段树上第一层节点，即根节点，如图

合并两树不为空时，一定会访问一次这个节点。其实更抽象一点，只要合并的两棵树同时包含了这个节点的子孙，那么这个节点非访问不可。既然他是根节点，那每次合并都要访问他了，所以线段树上的根节点在O(N)次合并中，会被访问O(N)次。
考虑第二层左边的节点

它对应了最底层左边四个节点，放在题目中的意义就是1-4这四种颜色，所以如果两棵树同时有1-4颜色中的一种，那么这个节点要选。
现在结合题目给出树讨论什么时候在哪些节点需要访问这个节点。
下面是题目所给树的一个可能情形

特意标黑的节点表示属于1-4颜色的节点，现思考什么地方合并会访问到第二层左边的节点。
首先1号黑点和2号黑点不存在合并操作，他们的复杂度已经在update贡献中计算过了。从3号黑点往上看，因为3号点的兄弟没有一个是1-4颜色的，所以他们的合并过程不会访问线段树左半边的任何点。接下来到合并到3号黑点的父节点，由于4号节点的颜色是1-4，两线段树都同时存在线段树左半边的节点，最起码2号点一定在两颗线段树中重叠了，所以也贡献一次复杂度。而再上去，如果兄弟节点都是白色，且它们的子树中都不含黑色节点的话，那么这个节点就不会对合并过程贡献复杂度。
到这里已经有点显然了，这个节点对于merge操作的复杂度贡献最多为O(黑点个数-1)。读者可以试试用归纳法去证明一下？
再考虑线段树第二层右边节点的复杂度，同理，就是O(4-8颜色的节点个数-1)。
重点来了，有没有可能，这两组节点有相交的空间呢？
当然没可能，除非一个节点有两个颜色。
所以线段树第二层节点对merge操作的复杂度贡献，同样为O(N)。
到此想必已非常明了，线段树每一层对merge操作的复杂度贡献都为O(N)。
一共logn层，总复杂度为O(NlogN)。