单调队列优化DP

单调队列优化DP

 单调队列优化DP是一个很常用的技巧，主要利用DP转移的单调性来降低转移复杂度

 大体来说，单调队列优化DP的题目中状态转移具有单调性，求最优解比较常见，并且都会有一些与状态范围，取值有关的限制。引入一个具有单调性的数据结构来维护转移，并且根据限制删除不合法的转移保证合法性。

 举一个栗子:https://www.luogu.com.cn/problem/P3957

 首先，看到数据范围，直接暴力肯定是不行的。考虑二分值域，每次选一个花费来判定DP最大值是否符合要求。但是这样就必须要求每次判定的复杂度尽可能低。

 题目中给出的限制条件是在坐标轴上的距离不得超出二分的区间，于是维护一个队列和两个指针，每次更新状态时顺便更新队列，每个点入队出队各一次，时间复杂度是\(O(n)\)的。

 对队列的更新是核心操作。每次将已经转移的状态和队尾的元素比较，如果新的元素更有就将原队列元素弹出，保证队列单调不降。所以更新状态时直接取队首的元素一定最优。

 除了最优性的更新,还有合法性的要求。每次加入新元素时记录坐标，如果队首坐标非法直接弹出。

 一道更复杂的题目:https://www.luogu.com.cn/problem/P2254

 这道题首先可以得到一个\(O(nmT)\)的暴力，按滑行的顺序转移。由于每个时段操作相同，考虑分移动时段转移。

 单调队列维护时间戳和已有的最大转移。每次通过滑行得到的最大值就是队首元素加时间差，比较直接继承原来的值与滑行的优劣，并以此更新队列。维护可行性比较首尾时间差与持续时间。遇到障碍无法转移就清空队列。

 都高二了，才在NOI前搞懂最简单的DP优化，确实不应该，以后应该多练练DP