luogu3768 简单的数学题题解
luogu3768 简单的数学题题解
原题地址:https://www.luogu.com.cn/problem/P3768
题意:求
\[\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^n ijgcd(i,j)
\]
这个式子看起来很基础，但是可以看到数据范围大于\(1e8\)，求和上指标又同为\(n\),此题肯定有一些特殊的做法
先按照常规的套路，设
\[d=(i,j)
\]
并将\(d\)直接提出来
\[\Sigma_{d=1}^nd^3 \Sigma_{i=1}^{n/d}\Sigma_{j=1}^{n/d}ij[(i,j)=1]
\]
右边的式子用莫比乌斯函数的和式替代
\[\Sigma_{d=1}^nd^3 \Sigma_{i=1}^{n/d}\Sigma_{j=1}^{n/d}ij\Sigma_{k|(i,j)}\mu(k)
\]
将\(k\)往左边提
\[\Sigma_{d=1}^nd^3 \Sigma_{k=1}^{n/d}k^2\mu(k)(\Sigma_{i=1}^{n/kd}i)^2
\]
设右边的和式为\(c\),并用\(T=kd\)换元
\[\Sigma_{d=1}^nd^3 \Sigma_{T=1}^n c(T)^2(T/d)^2\mu(T/d)
\]
整理式子
\[\Sigma_{T=1}^nc(T)^2T^2\Sigma_{d|T}d\mu(T/d)
\]
根据狄利克雷卷积的性质
\[\varphi=\mu*id
\]
可以将右边的式子用\(\varphi\)代替
\[\Sigma_{T=1}^n c(T)^2T^2\varphi(T)
\]
观察右侧的式子，可以发现\(T^2\varphi(T)\)是一个积性函数(两个数论函数的积仍为积性函数)，考虑处理这一部分，试图用杜教筛的式子向上套
\[g(1)S(n)=\Sigma_{i=1}^nH_i-\Sigma_{i=2}^ng(i)S(n/i)
\]
其中
\[S(n)=\Sigma_{i=1}^nf(i),H=f*g,f(n)=n^2\varphi(n)
\]
观察\(f(n)\)，\(\varphi\)难以直接处理，肯定要被转化掉，那就利用狄利克雷卷积中的\(id=I*\varphi\),设\(g(n)=1\)则
\[H(n)=n^2\Sigma_{d|n}\varphi(d)=n^3
\]
通过解递推方程可以发现，\(\Sigma_{i=1}^nH_i\)就是原式中的\(c^2\),于是式子的形式就很简洁了
\[S(n)=c(n)^2-\Sigma_{i=2}^ni^2S(n/i)
\]
直接代入原式求解就可以辣
小结:此题在莫反的基础上有扩展，上指标相同看似简化条件，实际上对性能要求更高。推式子时利用了狄利克雷卷积来处理\(\mu\),并在最后杜教筛处理前缀和时再次利用了\(\varphi\)的性质，算是对数论函数关系的灵活拓展
