莫比乌斯反演小结

莫比乌斯反演小结

​ 最近做了一点莫反的简单题目，虽然式子的推导并不算很复杂，但是没有见过肯定想不出来。感觉莫反非常需要技巧，在此总结一下翻过的车和学到的思路。写的非常简单，后面做了更多的题目可能会新增。

1.求和顺序的改变

​ 虽然这一步看起来没有什么技术含量，对元素的顺序改变也不影响结果，但是对于人来说推式子时思路更清晰。如果内层函数较为复杂新设函数单独求解。

2.换元法

​ 换元是最为常用的一种基本方法，主要体现在用积或商替换原来的式子，实现求和式中下标与限制条件之间的运算与求和式与狄利克雷卷积式之间的转换

​ 下标转换最为典型的应用就是在\(\Sigma_{i=1}^n \Sigma_{j=1}^m[(i,j)=k]\)中将\(i,j\)换为\(it*k,jt*k\),从而消去k，转化为更简洁的形式\(\Sigma_{i=1}^{n/k} \Sigma_{j=1}^{m/k}[(i,j)=1]\)

​ 此外，在某些情况下，换元法可以进行加速，如:YY的GCDhttps://www.luogu.com.cn/problem/P2257.此处的换元法将嵌套的函数拆开，虽然看起来更复杂了，却可以利用其加速

3.约数和转前缀和

​ 这也是一个非常常规的操作，主要用于处理由元函数得出的式子,比如\([(i,j)=1]=> \Sigma_{d|(i,j)}\mu(d)\),此时枚举d，将式子变换为\(\Sigma_{d=1}^n\mu(d)\),并改变\(i,j\)的枚举策略

4.对于\(\varphi\)的应用

​ 虽然叫莫比乌斯反演，但是\(\varphi\)的某些性质使得它可以大幅度的优化求解，比如https://www.luogu.com.cn/problem/P2568。

​ \(\varphi\)的处理可以直接起飞，但是限制较多，目前看来只有下标限制相同的求和才可以转为求\(\varphi\),本质也是利用狄利克雷卷积的性质