置换群基础概念
群
群是一个在定义运算中封闭的集合，群\(G=(S,*)\),\(S\)表示群中的元素，\(*\)是一个定义于\(S\)中元素的二元运算,且具有以下性质
1.封闭性:\(\forall p1,p2\in G,p1*p2\in G\)
2.结合律:\(p1*(p2*p3)=(p1*p2)*p3\)
3.存在单位元:\(p*e=e*p=p\)
4.存在逆元:\(p1*p2=p2*p1=e\),\(p1,p2\)互为逆元,且逆元唯一
特别的，如果G中元素满足交换律，则称其为一个阿贝尔群
群阶:\(\mid G\mid=\mid S\mid\),集合中元素个数
对于运算\(p1*p2\),可简写为\(p1p2\)，\(p^k\)等价于\(\Pi_{i=1}^kp\)
对于运算\(p1*p2=p1*p3\),存在\(p2=p3\)
运算\((p1*p2)^{-1}\)等于\(p1^{-1}*p2^{-1}\)
子群
集合H是G的子集，若H关于\(*\)封闭，则H称为G的子群
子群存在与全集相同的逆元和单位元
陪集
对于G,它的子群H的左陪集aH定义为\(\{{ah\mid h\in S}\}\),右陪集同理
陪集还是一个类似的集合，比如\((R,+)\)的子群\((Z,+)\),在R中找一个数，比如2，对Z中每一个数+2后形成的新集合，就称为2确定的\((R,+)\)中整数子群的左陪集
现在讨论右陪集的性质，左陪集同理
这个性质说明可以将群G划分为一个子群互不相交的集合的并，并可以由此推导出拉格朗日定理
\(\mid G\mid=\mid G:H\mid *\mid H\mid\),其中\(G:H\)表示G的子群H的不同右陪集个数
即一个群的子群的个数整除该群的阶数
置换
就是在两个由1到n的集合中的满射，用
\(A=\)
\((a1,a2......an)\)
\((b1,b2......bn)\)
来表示，\(a_i->b_i\),每个元素之间存在映射关系
一个置换可用循环来简写，\((a_1,a_2......a_n)\)等价于
\((a_1,a_2......a_n)\)
\((a_2......a_n,a_1)\)
任何一个置换都可用若干循环的乘积来表示
可以把一个置换分解为从各个点迭代映射到的所有点的集合的乘积
每个这样的乘积称为换位(二阶循环也可称为对换)，两个不相交的换位满足交换律
并且任意置换也可写作若干个对换的积
这样的分解并不唯一，但是他们的奇偶性唯一(指分解为对换)
