一些狄利克雷卷积性质的证明

1.\(\phi * I=id\)

可以表示成\(n=\Sigma_{d\mid n}\phi(d)\)

对于证明这类的式子，一般有以下个步骤

1.证明\(f(1)\)

2.证明\(f(p)\)

3.证明\(f(p^k)\)

4.证明\(f(p_1^{k1}*p_2^{k2})\)

5.证明普遍性

以欧拉函数的这一性质为例

1.\(\phi(1)=1\),直接由定义得出

2.\(\phi(1)=1,\phi(p)=p-1,\phi(1)+phi(p)=p\)

3.\(\Sigma^k_{i=0}\phi(p^i)=1+\Sigma^k_{i=1}\phi(p^i)=1+\Sigma^k_{i=1}p^{i-1}*(p-1)=1+(p-1)*(p^k-1)/(p-1)=p^k\)

4.\(p_1^{k1}*p_2^{k2}=\Sigma_{d1\mid p1^{k1}}\phi(d1)*\Sigma_{d2\mid p2^{k2}}\phi(d2)=\Sigma_{d\mid p_1^{k1}*p_2^{k2}}\phi(d)\)

5.对于普遍的情况，依次拆成2个数利用性质4即可得出

即\(\phi * I=id\)

2.\(\mu *I=\epsilon\)

这个性质并没有上面的复杂，只需要3个步骤即可证出

1.\(\mu(1)=1,\epsilon(1)=1\),由定义得

2.对于一个拥有重复质因子数的数，\(\mu(n)=0,\epsilon(n)=0\)

3.对于\(n=\Pi_{i=1}^kp_i\),含有i项质数的项数为n-i+1,由组合数的性质(二项式定理)可得，奇项数等于偶项数，\(\mu(n)=0\)

即\(\mu *I=\epsilon\)

3.\(\mu *id=\phi\)

由性质1，2可推出

4.在莫比乌斯反演中，有两条核心卷积式

1.\(F=I*f\)

2.\(f=\mu *F\)

2式可由1式与性质2推得，用卷积来推要比直接拆开方便理解很多

​ ——2020.5.4