欧拉公式

定义:$\phi(n)= \sum^{n-1}_{i=1,gcd(i,n)=1} $

即欧拉函数

对\(p\in P, \phi(p)=p-1\),可以从质数的定义中得到

接下来有2个集合，\(A={a1,a2...a_{\phi(n)}}\),\(B={c*a1,c*a2...c*a_{\phi(n)}}\)

其中\(gcd(c,n)=1\)

很明显，A是一个n的既约剩余系，接下来要证明B是n的既约剩余系

取\(k,j\in[1,\phi(n)]\),设\(c*a_k\equiv c*a_j(modn)\)

\(n\mid c*(a_k-a_j)\),由于\(gcd(c,n)=1\)，\(n\mid (a_k-a_j)\)

又因为\(\mid a_k-a_j \mid \in [0,n-1]\),只有\(k=j\)是才成立

所以B中每个元都不重复，是一个既约剩余系

\(\prod^{\phi(n)}_{i=1} a_i * c^{\phi(n)} \equiv \prod^{\phi(n)}_{i=1} a_i (modn)\)

即\(c^{\phi(n)} \equiv 1 (modn)\)

与费马小定理相似，证明一个带有互质乘积的集合为既约剩余系来约去数列项，最后得到结果

update:2020.5.3

扩展欧拉定理

需要注意的一点是，对于方程

\(a^{(bmod\phi(m)+phi(m))}(modm)\)

当\(b>=mod\phi(m)\)时很显然成立

当\(b\in[0,\phi(m))\),只能直接计算，扩展欧拉定理在这样的情况下不一定适用

至于在何种情况下使用，还有待探究