二元多项式求逆中的小坑

首先多元多项式是可以FFT的，做法就是每元作为主元分别FFT.

但是求逆就成问题了。

一元求逆的原理是，针对 $F_nG-1\equiv0\pmod{x^n}$ 有 $(F_nG-1)^2\equiv0\pmod{x^{2n}}$, 因此取 $F_{2n}\equiv2F_n-F_n^2G\pmod{x^{2n}}$.

如果套用到二元，一般来说我们关心方形 $[0, n)\times[0, n)$, 所以一般截断会假设这个区域内的东西都是 $0$, 别的不清楚。

平方以后，我们注意到 $(0, n)$ 和 $(n, 0)$ 能卷积到 $(n, n)$, 所以这个方形区域甚至不能扩展 $1$.

因此我们需要修改这个区域，改成直角三角形区域 $\{(i, j) \mid i+j<n\}$, 再平方就对了。

不过这样带来的问题就是会很丑，因为要对一个三角形的区域做正方形的DFT……

今晚做题临时发现的，权当记录，还请网友指教解决办法。