离散数学集合|二元关系内容总结
前言：
高中对集合已经有过学习，像基本概念，一些基础的运算都有学习过，这部分的内容比较简单，重点要理清楚二元关系中的概念，容易弄混的地方要牢记。
集合的基本概念：
1.集合的基本概念：
集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。集合中的元素是具有某种特定性质的具体的或抽象的对象。
一个班级里的学生，一张课桌上的两个人，一只铅笔盒里的铅笔都可以看作为一个集合2.集合元素的性质：
确定性：
一个确定性的集合就是指这个集合中元素的数量和具体的元素都是固定的、确定的。
一个简单的例子可以是一个装有5个红色球和3个蓝色球的袋子。这个集合中有8个元素，这8个元素是确定的：5个红色球和3个蓝色球，而且它们的数量和颜色也是确定的。
另外，集合{1,2,3,4,5}也是一个典型的确定性集合，其中元素的数量为5个，由数字1到5组成，也是固定且确定的。
以下是一个集合不确定的例子：
“偶数”和“奇数”的集合。如果我们问你，在集合{1，3，5}中是否存在一个偶数？您不能回答“是”或“否”，
因为该集合并没有包含所有的整数。而是只包含奇数。 因此，在这种情况下，集合“偶数”和“奇数”都没有确定。互异性
每个元素都只出现一次，就算出现多个相同的元素，也只有一个这个元素 无序性
3.集合与集合之间的关系 ：
集合与集合之间有包含与被包含或者不被包含的关系
以下是一些特殊的集合：
集合的运算：
1.基本的并集，交集运算：
这两个运算高中就学习过，比较简单，交集（找两个集合的相同），并集（两个集合所有元素）。从文氏图来看很直观。
2.集合的补集，差集，对称差：
补集：除集合元素外，给定全集的其他元素。
差集：直观理解就是去掉一个集合中另一个集合包含的元素。
对称差（比较新的概念，在后面恒等式中的证明也比较重要）： 
集合恒等式：
这一部分内容与第一部分学到的等值公式类似，在证明时也用到了之前学习的命题演算法，还有等式置换法和反证法。
有序对与笛卡尔积：
有序对：两元素按一定次序组成的二元组:<x,y>,x第一元素，y第二元素，次序不可改变 
笛卡尔积：来自两集合的元素自由组合成序偶（不满足交换律，结合律）
二元关系：
AxB的任意子集R：A到B的一个（二元）关系；A到B——>前域，后域顺序不可改变
关系的表达：主要介绍关系矩阵与关系图
关系的性质：
自反和反自反：
反自反差不多是自反的否定吧，在判断这两个关系是要注意是所有的元素都要满足，不然的话不成立
对称和反对称
注意：任意不要求所有元素存在(y,x)属于R（有元素满足）
当（x,y）与（y,x）都属于R时，如果x不等于y，那么不满足反对称；
例题：
R1中缺少<3,3>，所以不满足自反性
存在元素<x,x>属于R1,所以不满足反自反
R1存在<1,1>,<2,2>满足对称所以有对称性
传递性
y相当于桥梁把x，z联系起来了
关系性质的三种等价条件：
求关系的闭包：
基本定义：
包含给定的元素 , 并且 具有指定性质 的 最小的 集合 , 称为关系的闭包 ; 这个指定的性质就是关系 R
自反闭包 r ( R ) : 包含 R 关系 , 向 R 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系
对称闭包 s ( R ) : 包含 R 关系 , 向 R 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系
传递闭包 t ( R ) : 包含 R 关系 , 向 R 关系中 , 添加有序对 , 变成传递 的 最小的二元关系
注意：求闭包时，添加的有序对是最少的
利用关系图求解闭包：
求传递闭包有Warshall算法（这里不过多介绍）。
等价关系与划分：
①集合的等价关系：
注：r为非空集合上的关系
一个二元关系 r 是等价关系，当且仅当它满足如下三个性质：
自反性：∀a∈a，都有(a,a)∈r；
对称性：∀a,b∈a，若(a,b)∈r，则(b,a)∈r；
传递性：∀a,b,c∈a，若(a,b)∈r，(b,c)∈r，则((a,c)∈r。
等价关系的作用：等价关系可以用来将一个集合分成若干个不相交的子集（也称为等价类），每个等价类中的元素都满足彼此之间具有该等价关系
注：空集存在唯一的等价关系，空集不存在任意元素，所以自反，对称，传递的前件为假，即空集存在等价关系（应该是空关系）
②等价类
等价类是指一个集合中的元素根据某种关系被分类成若干个子集，每个子集称为一个等价类。具体地说，如果给定一个集合s和它上面的一个等价关系r，那么对于任意的元素x∈s，它都属于某一个等价类[x]。
在一个等价类中的元素之间有某种共同的性质或特征，而不同等价类中的元素则具有不同的性质或特征。
比如，假设使用的等价关系是“在一个整数除以3所得余数相同”，则所有余数为0的整数构成一个等价类，
所有余数为1的整数构成一个等价类，所有余数为2的整数构成一个等价类。等价类常常用于分组和分类，尤其在数据分析和软件测试领域中会进行等价类划分的方法。（课后可查查）
③商集
定义：由原集合中的元素经过一定等价关系划分成各个不相交子集所得到的集合
注：一个集合上的等价关系可能会出现多种不同的划分方式，而每种划分方式对应着不同的商集。因此，在定义一个商集时，需要明确要使用的等价关系
④划分
例如，假设s={1,2,3,4,5}，则 {{1,2},{3,4,5}} 和 {{1},{2},{3},{4},{5}} 都是 s 的划分，
而 {{1,2,3},{3,4,5}} 就不是 s 的划分，因为 {1,2,3}{1,2,3} 和 {3,4,5}{3,4,5} 存在交集。在进行集合划分时，需要注意以下几点：
1.划分要求元素互斥：每个元素只能被划分到一个子集中。这意味着，在同一个子集中不能存在重复的元素（上例中有体现）。
2.划分要求完备：所有元素必须被划分到子集中，即不能有任何一个元素落单或没有划分到子集中。（满足所有集族的并集是原集合）
3.划分的子集个数可以是任意的，但至少有一个子集。
