算法设计方法之 贪婪算法
贪婪算法是一种非常直观的求解方法，虽然未必能产生最优解，但是能够近似最优解，用贪婪算法可以求解货箱装载问题，背包问题，拓扑排序问题，最短路径问题等
最优化问题：
明确：
1. 约束条件
2. 可行解
3. 目标函数
4. 最优解
举个例子：
一个口渴的人想要解渴，他可以得到n种不同的饮料，但是他对每种饮料的满意度值不同，但是单一的一种饮料不足以满足他需要的量，他需要饮用不同种类的饮料。假设他对第i种饮料的满意度值是，他要应用的量是
，每种饮料的总量是
，总的需求量是t,则问题的模型可以转化为：
通过寻找一组解
使得p达到最大值：
且要满足：
这两个条件。
类似的问题还有货箱装载问题，最小成本通信网络问题，也即最小成本生成树。
贪婪算法思想：
在贪婪算法中，需要逐步构造一个最优解，每一步都在一定的标准下做出最优决策，且在以后的步骤中不能修改，做出决策所依据的标准称为贪婪准则。
如：找零钱问题
1. 机器调度问题：
假设有n个任务，机器个数不限，每个人物的开始时间a,完成时间b,时间段[a,b]为任务的处理时段。
例如：两个任务[1,4],[2,4]是有重叠的，[1,4][4,7]是没有重叠的，一个可行的分配方案是指没有把重叠的任务分配个给同一个机器。最优方案是指栈用的机器数量最少。
假设有7个任务，如果每台机器分配一个，这虽然是一个可行方案，但是明显不是一个最优方案。
贪婪法获得最优方案：每一步分配一个任务，且按照任务开始时间的非递减顺序进行。一台机器如果有至少一个任务，则成为旧机器，没有任务的机器称为新机器。采用的贪婪准则是：根据任务开始的时间，优先将任务分配给可用的旧机器。如果没有，再分配给新机器。
2. 最短路径问题：
如图所示的网络，寻找一条从1到5的最短路径。
箱子排序问题：
采用贪婪算法解决箱子装载问题：
在重量固定的情况下，装载最多的箱子：
箱子重量为：【100, 200, 50, 90, 150, 50, 20, 80】
实现代码：
#include <iostream>
using namespace std;
struct box // 箱子结构体，有箱子的id和重量
{
int idd;
int weight;
};
void containerLoading(box* p, int capacity, int box_num, int* x)
{
for(int i=1; i<=box_num-1; i++) //先对box进行排序
{
int min_weight = p[i].weight;
int min_index = i;
for(int j=i+1; j<=box_num; j++)
{
if(p[j].weight<min_weight)
{
min_weight = p[j].weight;
min_index = j;
}
}
// 交换p[i]和tmp_box
box tmp_box = p[i];
p[i] = p[min_index];
p[min_index] = tmp_box;
}
cout << "排序后的箱子：" << endl;
cout << "Id" << " " << "Weight" << endl;
for(int i=1; i<=box_num; i++)
{
x[i] = 0;
cout << p[i].idd << " " << p[i].weight << endl;
}
for(int i=1; i<box_num && p[i].weight<capacity; i++)
{
x[p[i].idd] = 1; // 第i个被装载的箱子
capacity -= p[i].weight; // 剩余容量
}
cout << "结果：" << endl;
for(int i=1; i<=box_num; i++)
{
cout << x[i] << " ";
}
cout << endl;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int box_number = 8;
int number_weight[] = {100, 200, 50, 90, 150, 50, 20, 80};
int xx[box_number+1];
int c = 400;
box* boxp = new box[box_number+1];
for(int i=1; i<=box_number; i++)
{
boxp[i].idd = i;
boxp[i].weight = number_weight[i-1];
} // 初始化箱子
containerLoading(boxp, c, box_number, xx);
return 0;
}
运行结果：
0/1背包问题：
n个物品和一个容量为c的背包，从n个物品中选取装包的物品，第i个物品重量为w_i, 价值为p_i,在满足约束条件的情况下，使得价值最高：
所以问题描述是：
约束条件是：
这个问题也是类似于上面货物装载的问题：
对于0/1背包问题，可能的贪婪准则：
1. 价值贪婪准则： 每次存剩余的物品中选择加价值最高的
2. 重量贪婪准则：每次从剩余的物品中选择重量最轻的
3. 价值密度贪婪准则：每次选择 价值/重量 最大的物品
但是，正对不同的问题，以上三种情况得到的不一定是最优解：
贪婪启发式方法：
上述问题是一个NP-复杂问题，在上面的贪婪准则中，价值密度虽然不一定得到最优解，但也是一种不错的启发式算法。
对贪婪启发式方法的改进：
首先将最多k件物品放入背包，如果k件物品的重量大于c，则放弃这k件物品，否则，根据背包剩余的容量，将剩余的物品按照价值密度递减的顺序放入。这种方法称为k阶优化。
