POJ2728 Desert King

01分数规划。

我们知道01分数规划有两种解法，一种是二分，一种是迭代。

先讲讲思路。

R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])，F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])=sigma(d[i]*x[i]);d[i]=a[i]-b[i]*L

求R的最大值，即F[L]取最小，那么就在当前L取值下跑最大生成树，使得F[L]尽量大那么也就是说有解比当前更优

所以当且仅当F[L]取到0时L=R，此时R取到最大值

本题是求最小值，所以可以将上面取值取倒数，也可以跑最小生成树求解

所以我们可以看出01分数规划的判定不在于你怎样二分判断，而在于你所构造的限制条件，求解最大值就要取大，反之取小。

下面给出二分代码，2300ms，稠密图要用Prim

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,cnt,head[N];double eps=1e-9;
double dis[N][N],hei[N][N],M[N][N];
struct node
{
    double x,y,h;
}e[N];
double manh(node a,node b){
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double low[N];bool v[N];
double prim(double r)
{
    for(int i=1;i<=n;++i)v[i]=0,low[i]=M[i][1];
    v[1]=1;double ans=0;double mi;int k;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        mi=-1e9;k=1;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(!v[j]&&mi<low[j])
            {
                k=j;mi=low[j];
            }
        }
        if(mi==-1e9)break;
        v[k]=1;ans+=mi;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(!v[j])low[j]=max(low[j],M[k][j]);
        }
    }
    return ans;
}
double check(double r)
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    {
        M[j][i]=M[i][j]=hei[i][j]-r*dis[i][j];
    }
    return prim(r);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%lf%lf%lf",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].h);
        }
        double l=0,r=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        dis[i][j]=dis[j][i]=fabs(e[i].h-e[j].h),
        hei[i][j]=hei[j][i]=manh(e[i],e[j]),
        r=max(r,hei[i][j]/dis[i][j]);
        while(r-l>=eps)
        {
            double mid=(l+r)/2;
            if(check(mid)>=0)l=mid;
            else r=mid;
        }
        printf("%.3f\n",1/l);
    }
    return 0;
}

迭代类似于我们之前的爬山算法，就是先随机找出一个解，然后朝着那个方向计算，区别在于prim的返回值。

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n,pre[N];double eps=1e-8;
double suma=0,sumb=0;
double dis[N][N],hei[N][N],M[N][N];
struct node
{
    double x,y,h;
}e[N];
double manh(node a,node b){
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double low[N];bool v[N];
double prim(double r)
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
    v[i]=0,low[i]=M[i][1],pre[i]=1;
    v[1]=1;double mi;int k;
    suma=sumb=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        mi=1e9;k=1;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(!v[j]&&mi>low[j])
            {
                k=j;mi=low[j];
            }
        }
        v[k]=1;
        suma+=dis[pre[k]][k];
        sumb+=hei[pre[k]][k];
        if(mi==1e9)break;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(!v[j]&&low[j]>M[k][j])
            low[j]=M[k][j],pre[j]=k;
        }
    }
    return suma/sumb;
}
double check(double r)
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    {
        M[j][i]=M[i][j]=dis[i][j]-r*hei[i][j];
    }
    return prim(r);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%lf%lf%lf",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].h);
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        dis[i][j]=dis[j][i]=fabs(e[i].h-e[j].h),hei[i][j]=hei[j][i]=manh(e[i],e[j]);
        for(int i=2;i<=n;++i)suma+=dis[1][i],sumb+=hei[i][1];
        double x=suma/sumb,x_;
        while(1)
        {
            x_=x;
            x=check(x);
            if(fabs(x-x_)<eps)break;
        }
        printf("%.3f\n",x);
    }
    return 0;
}