[经典贪心算法]Prim算法
最小生成树的Prim算法也是贪心算法的一大经典应用。Prim算法的特点是时刻维护一棵树,算法不断加边,加的过程始终是一棵树。
Prim算法过程:
一条边一条边地加, 维护一棵树。
一条边一条边地加, 维护一棵树。
初始 E = {}空集合, V = {任选的一个起始节点}
循环(n – 1)次,每次选择一条边(v1,v2), 满足:v1属于V , v2不属于V。且(v1,v2)权值最小。
E = E + (v1,v2)
V = V + v2
最终E中的边是一棵最小生成树, V包含了全部节点。
以下图为例介绍Prim算法的执行过程。
Prim算法的过程从A开始 V = {A}, E = {}选中边AF , V = {A, F}, E = {(A,F)}
选中边FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}
选中边BD, V = {A, B, F, D}, E = {(A,F), (F,B), (B,D)}
选中边DE, V = {A, B, F, D, E}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}
选中边BC, V = {A, B, F, D, E, c}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法结束。
Prim算法的证明:假设Prim算法得到一棵树P,有一棵最小生成树T。假设P和T不同,我们假设Prim算法进行到第(K – 1)步时选择的边都在T中,这时Prim算法的树是P’, 第K步时,Prim算法选择了一条边e = (u, v)不在T中。假设u在P’中,而v不在。
因为T是树,所以T中必然有一条u到v的路径,我们考虑这条路径上第一个点u在P’中,最后一个点v不在P’中,则路径上一定有一条边f = (x,y),x在P’中,而且y不在P’中。
我们考虑f和e的边权w(f)与w(e)的关系:
若w(f) > w(e),在T中用e换掉f (T中加上e去掉f),得到一个权值和更小的生成树,与T是最小生成树矛盾。
若w(f) < w(e), Prim算法在第K步时应该考虑加边f,而不是e,矛盾。
因此只有w(f) = w(e),我们在T中用e换掉f,这样Prim算法在前K步选择的边在T中了,有限步之后把T变成P,而树权值和不变, 从而Prim算法是正确的。
请仔细理解Prim算法——时刻维护一棵生成树。我们的证明构造性地证明了所有地最小生成树地边权(多重)集合都相同!
因为T是树,所以T中必然有一条u到v的路径,我们考虑这条路径上第一个点u在P’中,最后一个点v不在P’中,则路径上一定有一条边f = (x,y),x在P’中,而且y不在P’中。
我们考虑f和e的边权w(f)与w(e)的关系:
若w(f) > w(e),在T中用e换掉f (T中加上e去掉f),得到一个权值和更小的生成树,与T是最小生成树矛盾。
若w(f) < w(e), Prim算法在第K步时应该考虑加边f,而不是e,矛盾。
因此只有w(f) = w(e),我们在T中用e换掉f,这样Prim算法在前K步选择的边在T中了,有限步之后把T变成P,而树权值和不变, 从而Prim算法是正确的。
请仔细理解Prim算法——时刻维护一棵生成树。我们的证明构造性地证明了所有地最小生成树地边权(多重)集合都相同!
N个点M条边的无向连通图,每条边有一个权值,求该图的最小生成树。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:2个数N,M中间用空格分隔,N为点的数量,M为边的数量。(2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行:每行3个数S E W,分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N,1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 14 1 2 4 2 3 8 3 4 7 4 5 9 5 6 10 6 7 2 7 8 1 8 9 7 2 8 11 3 9 2 7 9 6 3 6 4 4 6 14 1 8 8
输出示例
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1 maxv=10001 2 n,m=list(map(int,input().split())) 3 E=[] 4 V=set([1]) 5 cost=[] 6 for i in range(n+1): 7 a=[] 8 for j in range(n+1): 9 a.append(maxv) 10 cost.append(a) 11 for i in range(m): 12 s,e,w=list(map(int,input().split())) 13 cost[s][e]=w 14 cost[e][s]=w 15 closet=[0] 16 lowcost=[maxv] 17 for i in range(1,n+1): 18 closet.append(1) 19 lowcost.append(cost[1][i]) 20 ans=0 21 for i in range(n-1): 22 k=0 23 for j in range(2,n+1): 24 if (lowcost[j]!=0) and (lowcost[j]<lowcost[k]):k=j 25 26 for j in range(2,n+1): 27 if cost[j][k]<lowcost[j]: 28 lowcost[j]=cost[j][k] 29 closet[j]=k 30 ans+=lowcost[k] 31 lowcost[k]=0 32 print(ans) 33