动态规划[入门]1- 最大子矩阵和
分析
我们把每一列第i行到第j行之间的和求出来,形成一个数组c,于是一个第i行到第j行之间的最大子矩阵和对应于这个和数组c的最大子段和。于是,我们的算法变为:
我们看看标为红色的部分 就是求每列第i行到第j行之间的所有数的和,我们没有再用一个循环求,而是随着j的增长,每次把第j行的结果叠加到之前的和上。 另外求c的最大子数组和是个线性时间算法,实际上它可以和那个k的for循环合并在一起,不过不影响时间复杂度。时间复杂度是O(M^2N)。
我们已经解决了一维的问题(基础篇中的最大子段和问题),现在变成二维了,我们看看能不能把这个问题转化为一维的问题。最后子矩阵一定是在某两行之间的。假设我们认为子矩阵在第i行和第j列之间,我们如何得到i和j呢,对,枚举。 枚举所有1<=i<=j<=M,表示最终子矩阵选取的行范围。
for i = 1 to M do for j = i to M do //计算第每列第i行到第j列的和 for k = 1 to N do c[k] = (j == i)?a[i][k] : (c[k] + a[j][k]) endfor //求c的最大子段和 记录全局最优结果 endfor endfor
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:M和N,中间用空格隔开(2 <= M,N <= 500)。 第2 - N + 1行:矩阵中的元素,每行M个数,中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)
输出
输出和的最大值。如果所有数都是负数,就输出0。
输入示例
3 3 -1 3 -1 2 -1 3 -3 1 2
输出示例
7
1 #最大子矩阵 2 def array(n): 3 a=[] 4 for i in range(n): 5 a.append(0) 6 return a 7 def array2(m,n): 8 a=[] 9 for i in range(m): 10 b=array(n) 11 a.append(b) 12 return a 13 line=input().split() 14 m=int(line[0]) 15 n=int(line[1]) 16 a=array2(n,m) 17 c=array(m) 18 for i in range(n): 19 line=input().split() 20 for j in range(m): 21 a[i][j]=int(line[j]) 22 ans=-10000000000 23 for i in range(n): 24 for j in range(i,n): 25 for k in range(m): 26 c[k]=a[j][k] if i==j else c[k]+a[j][k] 27 last=-10000000000 28 for k in range(m): 29 last=max(last,0)+c[k] 30 ans=max(ans,last) 31 print(ans)
超时!python的运行效率阿!!
1 #include<cstdio> 2 int max(int a,int b){ 3 if (a>b) return a; 4 else return b; 5 } 6 int main(){ 7 int m,n; 8 int a[500][500],c[500],ans,last; 9 scanf("%d%d",&m,&n); 10 for (int i=0;i<n;i++) 11 for(int j=0;j<m;j++) 12 { 13 scanf("%d",&a[i][j]); 14 } 15 ans=-1000000000; 16 for(int i=0;i<n;i++) 17 for (int j=i;j<n;j++) 18 { 19 for(int k=0;k<m;k++) 20 if (i==j) c[k]=a[j][k]; 21 else c[k]+=a[j][k]; 22 last=-1000000000; 23 24 for(int k=0;k<m;k++) 25 { 26 27 last=max(last,0)+c[k]; 28 ans=max(ans,last); 29 } 30 } 31 printf("%ld",ans); 32 }