动态规划6-背包问题

有n件物品,第i件物品(I = 1,2,3…n)的价值是vi, 重量是wi,我们有一个能承重为m的背包,我们选择一些物品放入背包,显然放入背包的总重量不超过m。我们要求选择物品的总价值最大,请问如何选择?这里我们假设所有出现的数都是正整数。


第一想法是? 

(1) 枚举?万能的枚举啊。但对于n件物品,每件都可以选择取或者不取,总的可能性有2n, n = 30就大约已经有10亿种可能了!枚举所有可能选择一种不超过背包承重并且价值最大的物品组合,枚举量太大了。

(2) 贪心? 嗯,有点意思。先选最贵重的物品?找个反例:

n = 3, m = 3
v = (2,2,3)
w = (1,2,3)

按照先选贵重物品的策略,会先选择价值为3的那个,并且背包装满了,但是如果我们选取前两个物品,总价值可以达到4。
可能你已经想到了,考虑“性价比”,先选取“性价比”高的。性价比怎么定义呢?用价值除以重量!先选取单位重量价值最大的物品试试?

再举个例子:

n = 3, m = 7
v = (2,3,4)
w = (3,4,5)

按我们的方法因为2/3 <  3/4 < 4 / 5,我们先选择第三件物品,但是选了它之后别的东西放不下了!总价值是4,但如果我们选择前两件物品可以拿到总价值5。可见这两种贪心法是不行的。如果你有别的贪心策略,也可以试试,万一成功了呢?
(3) 试试动态规划?
 
我们从1-n一件一件选择物品,为什么要记录之前选择了哪些物品呢? 因为我们要计算重量和价值,那我们能不能只记录重量和价值呢?可以的。
令f(i,j)表示选决定了前i件物品,重量恰好为j的时候能获得的最大价值。
假设我们已经知道了全部的f(i-1,*)的值,如何求f(i,*),换句话说我们有了状态表示还不够,如何求出递推式?
对f(i,j)如果我们不选取第i件物品,则显然f(i, j) = f(i – 1,j)
如果我们要选取第i件物品,那么前i – 1件物品必须要达到j - wi且价值最大。由我们对f的定义,有f(i,j) = f(i-1,j - wi) + vi, 那么我们究竟选不选第i件物品呢?只好看哪个大了值大了,所以由

f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi)

当然只有j>= wi的时候我们才有选择第i件物品的权力。
那么初值是什么呢?f(0,*),一件物品也不选的时候,显然重量只能是0,其他的重量都不存在,我们用负无穷来表示不可能,因为求的是最大价值嘛。
那么,我们整理一下我们的递推式子和初值:
 
  f(i,j)=\left\{\begin{array}{l} 0 \; (i=0 \;\cap\;  j=0)\\ 
-\infty \;(i=0 \;\cap\;  j>0)\\ 
f(i-1, j) \;(i > 0 \;\cup\;  j < w)\\ 
max(f(i-1, j), f(i-1,j - wi) + vi) \;(i > 0 \;\cup\;  j > wi)\\ 
\end{array}\right.  

那么我们求的值是什么呢? 回想f的定义,最终的答案是背包要装的物品价值最大。那么答案应该是max{f[n][i]}  (0<=i<=n)  注意这里i可以等于0——如果背包一件物品都容纳不了呢?

至此我们的问题得到了解答。分析下复杂度,我们的f第一维显然只能

到n,第二维能到多大呢?最大也就是背包的容量,再大没意义,全是-∞了。那么我们的空尽复杂度是O(n * m),我们求这些值的时候,每个值最多只从之前求的两个值比较得到结果,所以时间复杂度也是O(n * m)。前面提到的枚举算法时间复杂度是O(2^n),虽然我们不能得出动态规划算法更快的结论,但通常认为m不太大。

回到老问题,我们如何得到具体选出哪些物品?惯用伎俩了,看f(i,j)到底是由f(i-1,j)得到的,还是由, f(i-1,j - wi) + vi得到的,从最终结果倒推回去,得到一个最优解。

优化?我们看一下这个递推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi), 看一下f(i,*)只与f(i-1,*)相关,再仔细看看我们的第维j,只和更小的值相关,我们可以省掉一维i,然后倒着循环j,用旧的值更新新的值,这时f一部分是旧的值f(i-1,*),一部分是新的值f(i,*)。更具体地说小于j地是旧值,其余是新值。

 

核心伪代码:

1 f(0) = 0
2 f(1..m) = -3 for i = 1 to n do
4    for j = m downto wi do
5        f(j) = max(f(j), f(j - wi))
6    endfor
7 endfor

所求结果是max{f(0..m)}

注意我们循环j只到wi,因为再小的j会导致我们无法选择第i件物品,这时我们直接使用不用第i件物品的旧值就好啦。简单吧?

那么现在,时间复杂度时不变的,空间复杂度降低O(m)了。

们尝试换一种状态表示? 我们令f(i,j)表示决定了前i件物品,总重量不超过j时能获得的最大价值。仔细想想递推式是不变的,那么初值呢?如果初值不变,f就没变化了……i= 0时,总重量时0,又因为0不超过任何整数,所以根据定义初值是f(0,*) = 0
那么最终结果呢?根据定义,最终结果是f(n,m)而没有必要再一串数里取最大了。可见即使递推式相同,初值不同也会定义不同的函数,请不要忽略初值的作用啊。同样我们可以优化掉第一维。

核心伪代码:

 
1 初值f(0..m) = 0
2 for i = 1 to n do
3     for j = m downto wi do
4         f(j) = max(f(j), f(j - wi))
5     endfor
6 endfor

 

 

所求结果是f(m)

再换一种状态表示?刚才讲了,我们有重量和价值两个指标,那么我们令f(i,j)是决定了前i件物品,总价值恰好是j时的最小重量,那么经过类似的分析,我们可以写出这样的初值和递推式:

 
  f(i,j)=\left\{\begin{array}{l} 0 \; (i=0 \;\cap\;  j=0)\\  \infty \;(i=0 \;\cap\;  j>0)\\  f(i-1, j) \;(i > 0 \;\cup\;  j < vi)\\  max(f(i-1, j), f(i-1,j - wi) + vi) \;(i > 0 \;\cup\;  j > vi)\\  \end{array}\right.   

那结果是什么呢?
根据定义结果是max{x| f(n, x) <= m}, 同样我们可以优化掉一维的空间复杂度。那么时间复杂度是什么呢? O(n * sum(vi)) sum(vi)表示所有vi的和,也是第二维有意义的大小。

同样我们也可以重新定义状态为f(i,j)是决定了前i件物品,总价值不超过j时的最小重量,则递推式不变,初值
f(0,1.. sum(vi))) = 0

最终的结果也一样……还是要找到max{x| f(n, x) <= m}。
可见,动态规划问题状态表示十分灵活,不同的状态表示会有不同的解决方法。努力取发现吧!
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
 
输入

第1行,2个整数,N和W中间用空格隔开。N为物品的数量,W为背包的容量。(1 <= N <= 100,1 <= W <= 10000)
第2 - N + 1行,每行2个整数,Wi和Pi,分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)
输出
 
输出可以容纳的最大价值。
 
输入示例

3 6
2 5
3 8
4 9

输出示例

14
 1 def array(n):
 2     a=[]
 3     for i in range(n):
 4         a.append(0)
 5     return a
 6 def max(x,y):
 7     if x>y:
 8         return x
 9     else:
10         return y
11     
12 line=input().split()
13 n=int(line[0])
14 v=int(line[1])
15 w=[0]
16 p=[0]
17 f=array(v+1)
18 for i in range(n):
19     line=input().split()
20     w.append(int(line[0]))
21     p.append(int(line[1]))
22 for i in range(1,n+1):
23     for j in range(v,w[i]-1,-1):
24         f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+p[i])
25 print(f[v])        

 

posted @ 2015-08-31 21:33  Mose  阅读(389)  评论(0编辑  收藏  举报