2.二叉树

二叉树 Binary Tree：

1.特点：

• 一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系
• 二叉树的基本单元是节点，每个节点至少包含值、左子节点引用和右子节点引用
• 二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树

2.概念：

名词	解释
根节点（root node）	位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
叶节点（leaf node）	没有子节点的节点，其两个指针均指向 None 。
边（edge）	连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
二叉树的高度（height）	从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
节点所在的层（level）	从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
节点的度（degree）	节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
节点的深度（depth）	从根节点到该节点所经过的边的数量。
节点的高度（height）	从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

• 图解：

3.常见二叉树类型：

完美二叉树/满二叉树：

• 特点：
  • 所有层的节点都被完全填满
  • 叶节点的度为0，其余所有节点的度都为2

完全二叉树：

• 特点：
  • 只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充

完满二叉树：

• 特点：
  • 除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点

平衡二叉树：

• 特点：
  • 任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1

4.二叉树的遍历：

层序遍历：

• 遍历逻辑：从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点（类比队列，一般用队列实现）
• 属于广度优先遍历，也称广度优先搜索（breadth-first search, BFS）

前序、中序、后序遍历：

• 遍历逻辑：从顶部到底部逐层遍历二叉树，先走到尽头，再回溯继续（类比递归，一般用递归方式实现）
• 前序、中序、后序指的是根的打印顺序：根左右、左根右、左右根
• 都属于深度优先遍历，也称深度优先搜索（depth-first search, DFS）

5.二叉搜索树（节点值有序）：

• 特点：
  • 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值（有序特性）
  • 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1
• 二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，时间复杂度为O(logn)
• 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义
• 二叉搜索树的中序遍历的结果序列是升序的

• 常见操作：
  • 查找节点：
    • 比较待查找值与节点值；查找值小，则继续左子树；查找值大，则继续右子树。知道值匹配或者到达叶子节点
  • 插入节点：
    • 先查找到具体位置，插入到该位置（修改该位置的父节点指针，指向新节点）
  • 删除节点：
    • 删除节点为叶子节点，度为0，可以直接删除
    • 删除节点为非叶子节点：
      • 度为1，用待删除节点的唯一子节点替换掉待删除节点
      • 度为2，用该节点的右子树的最小节点或左子树的最大节点（该节点一定是叶子节点），替换自己
        • 右子树的最小节点：中序遍历的下一个节点
        • 左子树的最小节点：中序遍历的最后一个节点