6.堆

堆

• 定义：完全二叉树的一种特定应用

特征：

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满（完全二叉树特性）。
• 根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

堆分类：

• 小顶堆：任意节点的值≤其子节点的值
• 大顶堆：任意节点的值≥其子节点的值

堆的实现方案：

• 完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。
• 当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现：
  • 给定索引 i ，其左子节点的索引为 2i + 1 ，右子节点的索引为 2i + 2 ，父节点的索引为 (i − 1)/2（向下整除）。* 当索引越界时，表示空节点或节点不存在（满二叉树时不会出现不存在节点）。

常见操作（根队列基本一样）：

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	O(log n)
pop()	堆顶元素出堆	O(log n)
peek()	访问堆顶元素（对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	O(1)
size()	获取堆的元素数量	O(1)
isEmpty()	判断堆是否为空	O(1)

建堆操作：

1. 基于入堆实现O(nlogn)
2. 基于遍历实现O(n)
   • 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
   • 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行”从顶至底堆化”。
   • 每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆

应用：

• 优先队列
• 堆排序
• 最大的k个元素 TOP-K

TOP-K问题：

• 基于堆的方案：
  1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小
  2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆。
  3. 从第 k + 1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
  4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 k 个元素。