题解：[BZOJ2958] 序列染色

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BZOJ2958 序列染色

题意

给出一个长度为 \(n\)，由 \(\tt B,W,X\) 三种字符组成的字符串 \(S\)，你需要把每一个 \(\tt X\) 染成 \(\tt B\) 或 \(\tt W\) 中的一个。

Solution

字符串，染色，方案数，一眼 \(dp\)。

要求前半段是 B，后半段是 W。考虑容斥。

\(f_{i, 0/1}, g_{i, 0/1}, h_{i, 0/1}\) 代表选到第 \(i\) 位的方案，\(0\) 代表填 B，\(1\) 代表填 W，\(f\) 代表没有长度为 \(k\) 的带 B 字符串，\(g\) 代表有长度为 \(k\) 的带 B 字符串但没有长度为 \(k\) 的带 W 字符串，\(h\) 代表既有长度为 \(k\) 的带 B 字符串，又有长度为 \(k\) 的带 B 字符串。

显然，只有 X 和 B 可以填 B，只有 X 和 W 可以填 W。所以从 \(i - 1\) 转移时只需分类讨论填 B 和 W，即：

\[ s_i \ne B:\\ f_{i, 0} = f_{i - 1, 0} + f_{i - 1, 1},\\ g_{i, 0} = g_{i - 1, 0} + g_{i - 1, 1},\\ h_{i, 0} = h_{i - 1, 0} + h_{i - 1, 1} \\ s_i \ne W:\\ f_{i, 1} = f_{i - 1, 0} + f_{i - 1, 1},\\ g_{i, 1} = g_{i - 1, 0} + g_{i - 1, 1},\\ h_{i, 1} = h_{i - 1, 0} + h_{i - 1, 1} \]

从 \(i - k\) 转移时只需保证 $\left [ i - k, i \right ] $ 中可以全填 B 或 W，即：

\[ sum_{i, 0} = sum_{i - k, 0}:\\ g_{i, 1} = g_{i, 1} - g_{i - k, 0},\\ h_{i, 1} = h_{i, 1} + g_{i - k, 0} \\ sum_{i, 1} = sum_{i - k, 1}:\\ f_{i, 0} = f_{i, 0} - f_{i - k, 1},\\ g_{i, 0} = g_{i, 0} + f_{i - k, 1} \]

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <cstring>
using namespace std;

#define Maxn 1000005
#define Mod 1000000007
#define fo(i, l, r) for(int i = l; i <= r; ++i)

int n, k, a[Maxn], sum[Maxn][2], f[Maxn][2], g[Maxn][2], h[Maxn][2]; // f : no B, g : have B && no W, h : have B && have W
char s[Maxn];

void Input_data()
{  
    scanf("%d%d%s", &n, &k, (s + 1));
    fo(i, 1, n) sum[i][0] = sum[i - 1][0], sum[i][1] = sum[i - 1][1], (s[i] == 'B') && (++sum[i][0], a[i] = 1, 0), (s[i] == 'W') && (++sum[i][1], a[i] = 2, 0);
    // fo(i, 1, n) cerr << a[i] << " " << sum[i][0] << " " << sum[i][1] << " " << endl;
}

void Solve() 
{
    f[0][1] = 1;
    fo(i, 1, n) {
        if(a[i] != 2) f[i][0] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][1]) % Mod, g[i][0] = (g[i - 1][0] + g[i - 1][1]) % Mod, h[i][0] = (h[i - 1][0] + h[i - 1][1]) % Mod;
        if(a[i] != 1) f[i][1] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][1]) % Mod, g[i][1] = (g[i - 1][0] + g[i - 1][1]) % Mod, h[i][1] = (h[i - 1][0] + h[i - 1][1]) % Mod;
        // cerr << "f[" << i << "][0] : " << f[i][0] << " " << "f[" << i << "][1] : " << f[i][1] << endl;
        if(i < k) continue;
        if(sum[i][0] == sum[i - k][0]) g[i][1] = (g[i][1] - g[i - k][0] + Mod) % Mod, h[i][1] = (h[i][1] + g[i - k][0]) % Mod;
        if(sum[i][1] == sum[i - k][1]) f[i][0] = (f[i][0] - f[i - k][1] + Mod) % Mod, g[i][0] = (g[i][0] + f[i - k][1]) % Mod;
    }
}

void Print_ans()
{
    printf("%d", (h[n][0] + h[n][1]) % Mod);
}


int main()
{
    Input_data();

    Solve();

    Print_ans();

    return 0;
}