HDU--4059（容斥原理，四次方求和公式）

2015-06-09 20:17:09

题目：题目比较简单，给出 n ，求所有小于 n 且与 n 互质的数的四次方和。

思路：首先我们得知道四次方求和公式：1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + n^4 = n * (n+1) * (2n+1) * (3n^2+3n-1) / 30

　　首先对于找互质数，这是一个比较经典的容斥问题了，求其反面，然后用总数一减即可。

　　然后问题就在四次方求和公式上了，如果现场不知道的这个公式，数学比较好的话也不要紧。

　　因为 k 次求和公式基本都是由 k+1 次两项相减公式求得。举个例子：

        

　　

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define getmid(l,r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
#define MP(a,b) make_pair(a,b)
#define PB(a) push_back(a)

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const double eps = 1e-8;
const int INF = (1 << 30) - 1;
const ll mod = 1e9 + 7;

int T,n,fcnt;
int fac[100];
ll ans,f;

ll Q_pow(ll x,ll y){
    ll res = 1;
    while(y){
        if(y & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

ll Cal(ll v){
    ll res = v*(v+1)%mod*(2*v+1)%mod*(3*v%mod*v%mod+3*v%mod-1+mod)%mod;
    res = res*f%mod;
    return res;
}

void Dfs(int p,int num,ll val){
    if(p > fcnt){
        if(num == 0) return;
        ll k = n / val;
        ll res = Cal(k)*(ll)val%mod*val%mod*val%mod*val%mod;
        if(num & 1) ans = (ans + res) % mod;
        else ans = (ans - res + mod) % mod;
        return;
    }
    Dfs(p + 1,num + 1,val * fac[p]);
    Dfs(p + 1,num,val);
}

int main(){
    f = Q_pow(30,mod - 2);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        int top = (int)sqrt(1.0 * n);
        int tn = n;
        memset(fac,0,sizeof(fac));
        fcnt = 0;
        for(int i = 2; i <= top; ++i) if(tn % i == 0){
            ++fcnt;
            fac[fcnt] = i;
            while(tn % i == 0) tn /= i;
        }
        if(tn != 1){
            ++fcnt;
            fac[fcnt] = tn;
        }
        ans = 0;
        Dfs(1,0,1);
        ll sum = Cal(n);
        printf("%I64d\n",(sum - ans + mod) % mod);
    }
    return 0;
}