2011-2012 Waterloo Local Contest 24 September：E题（高斯消元，状压）

2015-03-03 20:44:14

Problem E: Harmonious Matrices

思路：这道题的模型是典型的高斯消元。

　　解法1：经典做法，类似poj1222，给矩阵的每个元素编号，1～n×m，然后建立1600*1600的矩阵，直接高斯消元解。效率较低。

　　解法2：将矩阵的第一行设为x1，x2，x3.....xm，然后发现由第一行可以确定第二行，

　　　　第二行的元素依次：x1^x2 , x1^x2^x3 , x2^x3^x4 , .... , xm-1^xm，确定完第二行后，第一行的所有元素显然符合了要求，但是第二行不一定。

　　　　再确定第三行，确定完后，第二行符合要求，第三行则不一定。

　　　　由此，我们类推到n+1行，这样所有n行的所有位置都符合了要求，但是多出了这第n+1行...

　　　　仔细思考，第n+1行显然是多余的，应该不存在！所以这行所有元素都是0。

　　　　那么，如何表示某个元素是xa1^xa2^...^xak..这种形式呢，可以考虑用状压来处理。这样以来，矩阵的第一行就要初始化成：2^(m-1)，2^(m-2) ,..... 2^0

　　　　※：现在，我们获得了第n+1行的数，比如：1101 , 0111 , 0011 , 0001

　　　　　　表示：x1^x2^x4 = 0, x2^x3^x4 = 0, x3^x4 = 0 , x4 = 0

　　　　　　这可以用高斯消元来解决。解出x1，x2，x3，x4，由于题目要求尽可能非全0，所以自由元令为1。

　　　　　　最后把解出的各个x，带入到之前求出的矩阵中即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define REP(i,n) for(int i=1;i<=(n);++i)
#define REV(i,n) for(int i=(n);i>=1;--i)
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)

typedef long long ll;

int T;
int n,m;
ll pw[50];
ll mx[50][50];
ll v[50],x[50];

void Gauss(){
    for(int i = 1,col = 1; col <= m && i <= m; ++i,++col){ //i:当前行,col:当前列
        int k = -1;
        FOR(j,i,m) if(v[j] & pw[m - col + 1]){
            k = j;
            break;
        }
        if(k == -1){
            x[col] = 1; //自由元
            --i;
            continue;
        }
        swap(v[i],v[k]);
        FOR(j,i + 1,m) if(v[j] & pw[m - col + 1]) v[j] ^= v[i];
    }
}

void Print(){
    REP(i,n) REP(j,m){
        int tmp = 0;
        REP(o,m) if(mx[i][j] & pw[m - o + 1]) tmp ^= x[o];
        printf("%d%c",tmp,j == m ? '\n' : ' ');
    }
}

void Solve(){
    MEM(x,0); MEM(mx,0);
    REP(i,40) pw[i] = (1LL << (i - 1));
    REP(i,m) mx[1][i] = pw[m - i + 1];
    REP(i,n) REP(j,m)   mx[i + 1][j] = mx[i - 1][j] ^ mx[i][j - 1] ^ mx[i][j] ^ mx[i][j + 1];
    REP(i,m) v[i] = mx[n + 1][i];
    Gauss();
    //获得解
    REV(i,m){ //若当消元
        int k = -1; //k为主元位置
        FOR(j,i,m) if(v[i] & pw[m - j + 1]){
            k = j;
            break;
        }
        if(k == -1) continue;
        x[k] = 0;
        FOR(j,k + 1,m) if(v[i] & pw[m - j + 1]) x[k] ^= x[j];
    }
    Print();
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    REP(tt,T){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        Solve();
    }
    return 0;
}