ZOJ--3329（概率DP，推导）

2015-01-03 12:34:02

思路：这题是概率DP，公式不好推.....一定要细心。（晚上推到凌晨，早上起来再推终于过了.....I am so ruo！QAQ）（深深地感觉到自己的方法比网上的麻烦....）

　　用dp[i]表示当前计数器的值为 i ，还需要掷多少次（期望值）使得游戏结束，那么转移方程是不难列出来的：dp[i] = Sigma（dp[i + j] + 1.0) / total + dp[0] / total，（3<=j<=K1*K2*K3，total = K1*K2*K3），发现每个dp[i]都会衍生出一个含dp[0]的项。

　　再详细点：如果我们要算4 2 2 2 1 1 1

　　dp[0] = (3 * (dp[4] + 1) + 3 * (dp[5] + 1) + (dp[6] + 1)) / total + (dp[0] + 1) / total（没有dp[3]，因为掷到三个1的话，计数器置零）

　　dp[4] = (3 * (dp[8] + 1) + 3 * (dp[9] + 1) + (dp[10] + 1)) / total + (dp[0] + 1) / total 

　　因为 ： dp[5] ~ dp[10] = 0

　　所以：  dp[0] = (3 * (dp[4] + 1) + 4) / total + (dp[0] + 1) / total 

　　　　     dp[4] = (3 + 3 + 1) / total + (dp[0] + 1) / total

　　　-->  dp[0] = 【3 *(7 / total + (dp[0] + 1) / total + 1) + 4】/ total + (dp[0] + 1) /total

　　发现每一个dp的表达式中都有（dp[0] + 1）这一项，那么我们可以把dp表达式写成dp[i] = A[i] * （dp[0] + 1）+ B[i]

　　而A[i]可以由A[i + j]（1<=j<=total）求出，B同理....那么可以用记忆化搜索解决。

　　由：A[i] = Sigma(A[i + j] + 1) / total , B[i] = (Sigma(B[i + j]) + 1) / total（这个B不太好理解....其实i+j中的A[i+j]代到i中后(A[i + j] * (dp[0] + 1) + 1) / total，会产生1 / total，应记入B[i]）

　　那么：dp[0] = （A[0] + B[0]) / (1.0 - B[0]）

　　（当然也可以用递推啦~）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MP(a,b) make_pair(a,b)
typedef pair<long double,long double> pdd;
const int INF = (1 << 30) - 1;

int T,n,K1,K2,K3,a,b,c;
long double A[550],B[550],total;

void Solve(int p){
    if(A[p] || p > n)    return;
    long double tmp = 0.0,res = 0.0;
    for(int i = 1; i <= K1; ++i){
        for(int j = 1; j <= K2; ++j){
            for(int k = 1; k <= K3; ++k){
                if(i == a && j == b && k == c)    continue;
                Solve(p + i + j + k);
                res += A[p + i + j + k] + 1.0;
                tmp += B[p + i + j + k];
            }
        }
    }
    A[p] = res / total;
    B[p] = (tmp + 1.0) / total;
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&K1,&K2,&K3,&a,&b,&c);
        memset(A,0,sizeof(A));
        memset(B,0,sizeof(B));
        total = (long double)K1 * K2 * K3;
        Solve(0);
        printf("%.15Lf\n",(A[0] + B[0]) / (1.0 - B[0]));
    }
    return 0;
}