codeforces #284 div2 D（概率DP）

2014-12-25 23:42:16

思路：由于之前没怎么刷过概率DP，刷这题非常吃力orz.....（问了人、看了n个人的代码才逐渐搞懂，我真是太弱了TAT....）

　　弱弱的来解释下吧：

　　首先：用dp[i][j]来表示name出第 i 首歌时用的时间为 j（当然可用dp[2][maxn]来滚动）

　　再考虑dp[i][j]是从哪转移来的，j 至少要 i，至多为T，它可以从dp[i-1][i-1],dp[i-1][i],dp[i-1][i+1]....dp[i-1][j-1]转移来，但是要乘上相应的概率

　　　　于是有转移方程：dp[i][i] = dp[i-1][i-1]*p

　　　　　　　　　　　　dp[i][i+1] = (dp[i-1][i-1]*(1-p) + dp[i-1][i])*p

　　　　　　　　　　　　....

　　　　　　　　　　　　dp[i][j] = (dp[i-1][i-1]*(1-p)^(j-i) + dp[i-1][i]*(1-p)^(j-i-1) + ..... + dp[i-1][j-1])*p

　　　　　　　　　　=> dp[i][j] = sigma(dp[i-1][k]*(1-p)^(j-k-1))*p，(i-1<=k<=j-1)

　　这么多数，暴力转移肯定不行，此时我们发现求完dp[i][j]后，再求dp[i][j+1]时，可以利用上一次求出的sigma(dp....)，因为 j 增加为 j+1 ，所以只要算simga(dp..)*(1-p)即可，这样就可以在线性时间内维护dp值了，复杂度：O（n×T）。

　　最后，关于答案，因为我们对dp的定义是第“某”首歌被name出的概率，所以该首歌被name出来对于最终答案的贡献是P（name出该首歌）×1，所以我们只要累加所有的dp值即可。感谢@ACsys对题解给出的建议！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lp (p << 1)
#define rp (p << 1|1)
#define getmid(l,r) (l + (r - l) / 2)
#define MP(a,b) make_pair(a,b)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int INF = 1 << 30;
const int maxn = 5010;

int n,T,pi,t;
double dp[maxn][maxn];

int main(){
    dp[0][0] = 1.0;
    double ans = 0;
    scanf("%d%d",&n,&T);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d%d",&pi,&t);
        double p = (double)pi / 100.0;
        double tp = pow((1.0 - p),t - 1.0);
        double f = 0;
        for(int j = i; j <= T; ++j){
            f = f * (1 - p) + dp[i - 1][j - 1];
            if(j >= t){
                f -= dp[i - 1][j - t] * tp;
                dp[i][j] = f * p + dp[i - 1][j - t] * tp;
            }
            else    dp[i][j] = f * p;
            ans += dp[i][j];
        }
    }
    printf("%.10f\n",ans);
    return 0;
}