Book--阶乘、次方中后缀零、总位数的讨论

2014-06-11 21:29:09

Q1：阶乘中后缀零的计算

显然，n! 前面几项可以写成：1 * 2 * 3 * (2 * 2) * 5 * (2 * 3) * 7 * (2 * 2 * 2) * 9 * (2 * 5).....发现，2 * 5可以使后缀零的个数+1。（而２的个数显然多于５）

结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。

下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。

上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

 

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
   f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最终的计算公式为：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

 

更为一般性的讨论：ｎ！在ｂ进制下后缀零的个数

在做Uva10061时，受到上述启发：我们把base拆成素数积的形式，并且找到最大素数maxprime（由于base由这些prime可实现，所以说明只要maxprime存在一个，base即可实现一次，即产生一个后缀零），及其在base中的幂次数n1，所以只要找出maxprime在ｎ！中出现的幂次数n2，后缀０的个数即为：n2 / n1.（取整），而上述十进制中的公式有局限性，不适用于这里，所以这里要单独进行一般性计算。

 

   for (int i = 2; i <= base; ++i)  
        {  
            rbase = 0;  
            while (base % i == 0)  
            {  
                maxp = i;///最大质数  
                ++rbase;///base质因子分解中最大质数的幂次  
                base /= i;  
            }  
        }  

而这段代码就能得出maxprime，（稍加改进可以输出合数的素数表达式），为什么可以这样扫一遍就ＯＫ呢，如果先扫到合数因子呢？幸运的是这是不可能的，因为如果第一个扫到的因子是合数，那么这个合数必定可以分解为比它小的素数，所以，第一个扫到的因子必定是素数！而ｎ可以表示成p1^n1 * p2^n2 * p3^n3 .... pm ^ nm　这样的素数表达式，每扫到一个素因子，就除掉，剩下后面ｍ－１个素数幂积，再继续扫，这样竟然可以保证所扫到的全部是素数因子。

　ＰＳ：部分借鉴：　http://blog.csdn.net/hbxtght/article/details/6515296　http://tech.ddvip.com/2013-11/1385567355206478.html