Book--母函数拓展（泰勒级数推导）

 

咳咳，看了网上大牛关于hdu2065的高端解法，加上这周上过的概率统计中也从泰勒提到了母函数，于是写一下总结。

转自：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7831009

比赛的时候遇到这种题，只能怪自己高数学得不好，看着别人秒。。。。

由4种字母组成，A和C只能出现偶数次。

构造指数级生成函数：(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.

前面是B和D的情况，可以任意取，但是相同字母一样，所以要除去排列数。后者是A和C的情况，只能取偶数个情况。

根据泰勒展开，e^x在x0=0点的n阶泰勒多项式为 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……

而后者也可以进行调整，需要把奇数项去掉，则e^(-x)的展开式为1-x/1!+X^2/2!-X^3/3!……

所以后者可以化简为(e^x+e^(-x))/2。则原式为(e^x)^2   *  ((e^x+e^(-x))/2)^2

整理得到（e^4x+2*e^2x+1）/4。

又由上面的泰勒展开 

 

e^4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + ... + (4x)^n/n!;

e^2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + ... + (2x)^n/n!;
现在反观上面，我们需要的母函数是（1+x+x^2+x^3+.....)^2 * (1+x^2+x^4+x^6+....）所以忽略展开是中每项下面的阶乘。

对于系数为n的系数为(4^n+2*2^n)/4=4^(n-1)+2^（n-1）;

快速幂搞之。

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<queue>  
#include<vector>  
#include<cmath>  
#define LL  long long  
#define MOD 100  
#define eps 1e-6  
#define N 100010  
#define zero(a)  fabs(a)<eps  
using namespace std;  
int PowMod(int a,LL b){  
    int ret=1;  
    while(b){  
        if(b&1)  
            ret=(ret*a)%MOD;  
        a=(a*a)%MOD;  
        b>>=1;  
    }  
    return ret;  
}  
int main(){  
    int t;  
    while(scanf("%d",&t)!=EOF&&t){  
        int cas=0;  
        LL n;  
        while(t--){  
            scanf("%I64d",&n);  
            printf("Case %d: %d\n",++cas,(PowMod(4,n-1)+PowMod(2,n-1))%MOD);  
        }  
        printf("\n");  
    }  
    return 0;  
}