Book--LIS的二分查找优化

所谓LIS，即longest inceeasing subsequence，最长上升子序列，可以用DP思想来做，正常的dp做法：
    状态转移方程：dp[ i ] = max(dp[ j ]) + 1 (dp[ i ]记录的是以第 i 个数结尾的最长子序列长度，而 0 <= j < i （假设元素从标记0开始））
    如果要记录路径，再开一个index[ ]数组记录，并回溯print即可。
 显然，如果数据规模比较大，会超时，（上述时间复杂度O(n^2)），这里我们考虑用二分查找来优化。
 这种思想来自hdu论坛 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=15580&fpage=0&page=1。
思考过程：
 假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。

下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
！！注意！！。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～

 事实上，这里的思想已经和原先的常规DP有了区别。

例题来自 hdu 1025

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int ans[500005],num[500005];
int main()
{
    int Case = 1,n,p,r,len,low,high,mid;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        for(int i = 0;i < n;i ++)
        {
            scanf("%d %d",&p,&r);
            num[p] = r;
        }
        ans[1] = num[1];
        len = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i ++)
        {
            low = 1;
            high = len;
            while(low <= high)
            {
                mid = (low + high) / 2;
                if(ans[mid] > num[i])
                    high = mid - 1;
                else
                    low = mid + 1;
            }
            ans[low] = num[i];
            if(low > len)
                len ++;
        }
        printf("Case %d:\n",Case ++);
        if(len == 1)
            printf("My king, at most 1 road can be built.\n\n");
        else
            printf("My king, at most %d roads can be built.\n\n",len);
    }
    return 0;
}