luogu P1447 [NOI2010]能量采集 |莫比乌斯反演

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有 \(n\) 列，每列有 \(m\) 棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标 \((x, y)\) 来表示，其中 \(x\) 的范围是 \(1\) 至 \(n\)，\(y\) 的范围是 \(1\) 至 \(m\)，表示是在第 \(x\) 列的第 \(y\) 棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是 \((0, 0)\)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有 \(k\) 棵植物，则能量的损失为 \(2k + 1\)。例如，当能量汇集机器收集坐标为 \((2, 4)\) 的植物时，由于连接线段上存在一棵植物 \((1, 2)\)，会产生 \(3\) 的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为 \(1\)。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中 \(n = 5\)，\(m = 4\)，一共有 \(20\) 棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了 \(36\) 的能量损失。

输入格式

一行两个整数 \(n,m\)。

输出格式

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

不开long long 见祖宗

#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
#define ll long long
bool vis[N];
ll mu[N],pri[N],tot,n,m;
void Mobius(){
	vis[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else { mu[i*pri[j]]=0; break; }
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
inline ll calc(int a,int b){
	ll ans=0;
	int lim=min(a,b);
	for(int i=1,j=0;i<=lim;i=j+1){
		j=min(a/(a/i),b/(b/i));
		ans+=(mu[j]-mu[i-1])*(a/i)*(b/i);
	}
	return ans;
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	Mobius();
	ll ans=0;
	int lim=min(n,m);
	for(int i=1;i<=lim;i++)ans+=1ll*i*calc(n/i,m/i);
	cout<<2ll*ans-n*m<<endl;
}