luogu P1297 [国家集训队]单选错位 |数学期望
题目描述
gx 和 lc 去参加 noip 初赛,其中有一种题型叫单项选择题,顾名思义,只有一个选项是正确答案。
试卷上共有 \(n\) 道单选题,第 \(i\) 道单选题有 \(a_i\) 个选项,这 \(a_i\) 个选项编号是 \(1,2,3,\ldots,a_i\),每个选项成为正确答案的概率都是相等的。
lc 采取的策略是每道题目随机写上 \(1 \sim a_i\) 的某个数作为答案选项,他用不了多少时间就能期望做对 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\) 道题目。gx 则是认认真真地做完了这 \(n\) 道题目,可是等他做完的时候时间也所剩无几了,于是他匆忙地把答案抄到答题纸上,没想到抄错位了:第 \(i\) 道题目的答案抄到了答题纸上的第 \(i+1\) 道题目的位置上,特别地,第 \(n\) 道题目的答案抄到了第 \(1\) 道题目的位置上。
现在 gx 已经走出考场没法改了,不过他还是想知道自己期望能做对几道题目,这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。
我们假设 gx 没有做错任何题目,只是答案抄错位置了。
输入格式
\(n\) 很大,为了避免读入耗时太多,输入文件只有 555 个整数参数 \(n, A, B, C, a_1\),由上交的程序产生数列 \(a\)。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句(默认从标准输入读入):
// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;
// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
a[i] = a[i] % C + 1;
选手可以通过以上的程序语句得到 \(n\) 和数列 \(a\)(\(a\) 的元素类型是 \(32\) 位整数),\(n\) 和 \(a\) 的含义见题目描述。
输出格式
输出一个实数,表示 gx 期望做对的题目个数,保留三位小数。
设两道相邻题目长度为x,y,仔细研究发现两道题答案相同的概率是1/max(x,y)
乘以个1,就是数学期望了,相加就好了
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e7+10;
#define ll long long
#define db double
inline int read(){
int x=0; char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while('0'<=c&&c<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar(); }
return x;
}
int a[N],n;
inline void in(){
int A,B,C;
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
a[i] = ((ll) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)a[i] = a[i] % C + 1;
}
int main(){
in();
db ans=0;
for(int i=1;i<n;i++)ans+=(db)1/max(a[i],a[i+1]);
ans+=(db)1/max(a[1],a[n]);
printf("%.3f\n",ans);
}