题解 染色 / [ARC062F] Painting Graphs with AtCoDeer

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[ARC062F] Painting Graphs with AtCoDeer

• 关于 Polya 定理：
  一般用在染色上吧？如果是的话，可能的切入点（用 \(k\) 种颜色）：
  \[\frac{1}{G}\sum\limits_{p\in G}|k|^{c(p)} \]
  其中 \(c(p)\) 为置换 \(p\) 的轮换数
  这 tm 不是定义吗我在写什么啊

然后这题就相对好做了：
对每个点双分别考虑
若某个点双是个简单环用 polya 定理算贡献
若其边数大于点数这里证明了边的位置是可以任意调换的
那么贡献的方案数就是将 边数 个点放到 \(k\) 个盒子里，可以为空的方案数
剩下的孤立边每个产生 \(k\) 的贡献
然后因为是求点双，每个点可能在多个点双里
那么枚举边判断它在哪个点双中的时候要选 dfn 序大的那个点的 \(bel\)，因为较小的可能在之后被染成别的颜色
复杂度 \(O(n\log n)\)

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 1000010
#define fir first
#define sec second
#define pb push_back
#define ll long long
//#define int long long

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n, m, k;
ll ans=1;
bool ins[N];
ll fac[N], inv[N];
vector<int> dcc[N];
const ll mod=1e9+7;
pair<int, int> g[N];
unordered_map<int, int> mp[N];
int head[N], bel[N], dfn[N], low[N], sta[N], siz[N], ecnt, col, top, rot, tot;
struct edge{int to, next;}e[N<<1];
inline void add(int s, int t) {e[++ecnt]={t, head[s]}; head[s]=ecnt;}
inline int gcd(int a, int b) {return !b?a:gcd(b, a%b);}
inline ll qpow(ll a, ll b) {ll ans=1; for (; b; a=a*a%mod,b>>=1) if (b&1) ans=ans*a%mod; return ans;}
inline ll C(int n, int k) {return fac[n]*inv[k]%mod*inv[n-k]%mod;}

void tarjan(int u) {
	dfn[u]=low[u]=++tot;
	ins[sta[++top]=u]=1;
	if (u==rot&&head[u]==-1) dcc[++col].pb(u), mp[col][u]=1, bel[u]=col;
	bool flag=0;
	for (int i=head[u],v; ~i; i=e[i].next) {
		v = e[i].to;
		if (!dfn[v]) {
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u], low[v]);
			if (low[v]>=dfn[u]) {
				++col;
				do {
					// dcc[col].pb(sta[top]);
					mp[col][sta[top]]=1;
					bel[sta[top--]]=col;
				} while (sta[top+1]!=v);
				// dcc[col].pb(u);
				mp[col][u]=1;
				bel[u]=col;
			}
		}
		else low[u]=min(low[u], dfn[v]);
	}
}

signed main()
{
	freopen("painting.in", "r", stdin);
	freopen("painting.out", "w", stdout);

	n=read(); m=read(); k=read();
	memset(head, -1, sizeof(head));
	for (int i=1,u,v; i<=m; ++i) {
		u=read(); v=read();
		g[i]={u, v};
		add(u, v); add(v, u);
	}
	fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
	// for (int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for (int i=2; i<=m; ++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for (int i=2; i<=m; ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
	for (int i=1; i<=n; ++i) if (!dfn[i]) tarjan(rot=i);
	// cout<<"dfn: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<dfn[i]<<' '; cout<<endl;
	// cout<<"bel: "; for (int i=1; i<=n; ++i) cout<<bel[i]<<' '; cout<<endl;
	for (int i=1; i<=m; ++i) {
		int id=dfn[g[i].fir]>dfn[g[i].sec]?bel[g[i].fir]:bel[g[i].sec];
		if (mp[id].find(g[i].fir)!=mp[id].end() && mp[id].find(g[i].sec)!=mp[id].end()) ++siz[id];
		else ans=ans*k%mod;
	}
	// cout<<"---dcc---"<<endl;
	// for (int i=1; i<=col; ++i) {for (auto it:mp[i]) cout<<it.fir<<' '; cout<<endl;}
	for (int i=1; i<=col; ++i) {
		// cout<<"i: "<<i<<' '<<siz[i]<<endl;
		if (siz[i]==mp[i].size()) {
			ll tem=0;
			for (int j=1; j<=siz[i]; ++j) tem=(tem+qpow(k, gcd(j, siz[i])))%mod;
			tem=tem*qpow(siz[i], mod-2)%mod;
			ans=ans*tem%mod;
			// cout<<"tem: "<<tem<<endl;
		}
		else {
			ll tem=inv[siz[i]];
			for (int j=siz[i]+k-1; j>k-1; --j) tem=tem*j%mod;
			ans=ans*tem%mod; //, cout<<"add: "<<C(siz[i]+k-1, k-1)<<endl;
			// cout<<"add: "<<tem<<endl;
		}
	}
	printf("%lld\n", (ans%mod+mod)%mod);

	return 0;
}