题解 [CCPC2021 广州] Cafeteria

传送门

先来口胡一个做法：
发现 Dave 选菜的过程实际上是在原串中匹配一个子序列的过程
那么单次询问就有一个 DP：
令 \(f_{i, j}\) 为在原串中匹配到位置 \(i\)，在模式串中匹配到位置 \(j\) 的方案数
做一次是 \(O(nm)\) 的
现在有多次询问，发现这个 DP 在一定程度上是可以拆开的
考虑扔到猫树上处理，对原串匹配到的位置进行分治
在每个分治区间，
令 \(f_{i, j, k}\) 为从 \(mid+1\) 到 \(r\)，模式串从 \(i\) 开始匹配，原串匹配到位置 \(j\)，模式串匹配到位置 \(k\) 的方案数
令 \(g_{i, j, k}\) 为从 \(mid\) 到 \(l\)，模式串从 \(i\) 开始反向匹配，原串反向匹配到位置 \(j\)，模式串反向匹配到位置 \(k\) 的方案数
那么预处理的复杂度是 \(O(m^2n\log n)\) 的，询问复杂度 \(O(tm)\)

然后正解：
这个 DP 实际上是可以矩阵乘法实现的
原串的每个字符形成了一个转移矩阵 \(T\)

\[T_k(i, i)=1 \]

\[T_k(i, i+1)=[s_k=t_{i+1}] \]

这个矩阵最大的特点就是它有逆
那么问题就变成了怎么快速求逆和逆的前缀积