题解 [JSOI2015] 染色问题

传送门

果然我连蓝题都不会做

口胡做法：
三个限制，考虑二项式反演套二项式反演套二项式反演，每次剥掉一层限制
那么最内层限制大概形如要求一个
\(f_{i, j, k}\) 为至多用 \(i\) 种颜色，给 \(j\) 行 \(k\) 列染色（不要求每行每列都有涂色格子）的方案数
应该是对的吧

上面做法的一个优化：
发现给 \(j\) 行染色，使每行至少有一个染色格子，至多有 \(k\) 列被染色的方案数是

\[((i+1)^k-1)^j \]

所以反演两层就行了

• 关于高维二项式反演
  写出来就大概长
  \[f(x, y, z)=\sum\limits_{i=x}^n\sum\limits_{i=y}^m\sum\limits_{k=z}^c(-1)^{x+y+z-i-j-k}\binom{i}{x}\binom{j}{y}\binom{k}{z}g(i, j, k) \]
  这样子

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 1000010
#define ll long long
//#define int long long

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n, m, c;
const ll mod=1e9+7;
ll fac[N], inv[N], ans;
inline ll C(int n, int k) {return fac[n]*inv[k]%mod*inv[n-k]%mod;}
inline ll qpow(ll a, ll b) {ll ans=1; for (; b; a=a*a%mod,b>>=1) if (b&1) ans=ans*a%mod; return ans;}

ll f(int i) {
	ll ans=0;
	for (int j=0; j<=m; ++j) ans=(ans+((m-j)&1?-1:1)*C(m, j)*qpow(qpow(i+1, j)-1, n))%mod;
	return ans;
}

signed main()
{
	n=read(); m=read(); c=read();
	fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
	for (int i=2; i<=max(m, c); ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for (int i=2; i<=max(m, c); ++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for (int i=2; i<=max(m, c); ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
	for (int i=0; i<=c; ++i) ans=(ans+((c-i)&1?-1:1)*C(c, i)*f(i))%mod;
	printf("%lld\n", (ans%mod+mod)%mod);

	return 0;
}