题解 [AGC020F] Arcs on a Circle

传送门

\(\color{black}t\color{red}{ouist}\) 是世间真神！

发现坐标都是实数
猜测做法是计算所有弧两两之间的交的长度之和 \(\leqslant \sum l_i-c\) 的概率
然后看题解发现不是

发现本题有性质是弧长都是整数
将某条弧的左端点坐标写为 \(d_i+r_i, r_i\in[0, 1)\)
那么发现其右端点为 \(d_i+l_i+r_i\)
注意到这个 \(r_i\) 是不变的
又注意到因为左右端点 \(r_i\) 相同，我们其实可以离散化这个东西
但是不知道 \(r_i\) 的相对大小怎么离散化呢？
发现 \(n\) 很小，那么枚举 \(r_i\) 的相对大小关系
于是现在环被离散化成了 \(n*c\) 个整点
那么可以断环为链，在链上 DP 合法方案数
一个坑点是这里的断环为链不是乱断的，参考 tzc_wk 的题解
于是 DP 的话需要知道当前在哪个点，用了哪些弧，最远覆盖到那些点
求出合法方案数除以总方案数（相对大小关系总数*每个弧的起始点有 c 种选法）就可以了
复杂度 \(O(n!(nc)^22^n)\)

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 100010
#define ll long long
//#define int long long

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n, c;
double ans;
int l[10], p[10], id[10], f[310][310][1<<6], uni[55][10], tot;

signed main()
{
	n=read(); c=read();
	for (int i=1; i<=n; ++i) l[i]=read();
	sort(l+1, l+n+1, [](int a, int b){return a>b;});
	for (int i=1; i<=n; ++i) p[i]=i;
	int lim=1<<n;
	for (int i=1; i<=c; ++i)
		for (int j=1; j<=n; ++j)
			uni[i][j]=tot++;
	do {
		if (p[1]!=1) continue;
		memset(f, 0, sizeof(f));
		for (int i=1; i<=n; ++i) id[p[i]]=i;
		f[uni[1][1]][uni[1][1]+l[1]*n][1]=1;
		for (int i=1; i<=c; ++i) {
			for (int j=1; j<=n; ++j) {
				for (int k=uni[i][j]; k<=n*c; ++k) {
					for (int s=1; s<lim; ++s) if (s&1) {
						// if (f[uni[i][j]][k][s]) cout<<"f: "<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<bitset<6>(s)<<' '<<f[uni[i][j]][k][s]<<endl;
						f[uni[i][j]+1][k][s]+=f[uni[i][j]][k][s];
						if (!(s&(1<<id[j]-1))) f[uni[i][j]+1][max(k, min(n*c, uni[i][j]+l[id[j]]*n))][s|(1<<id[j]-1)]+=f[uni[i][j]][k][s];
					}
				}
			}
		}
		ans+=f[n*c][n*c][lim-1];
	} while (next_permutation(p+1, p+n+1));
	for (int i=2; i<n; ++i) ans/=i;
	for (int i=1; i<n; ++i) ans/=c;
	printf("%.20lf\n", ans);
	
	return 0;
}