题解 「THUPC 2022 初赛」最小公倍树

传送门

对着假结论研究了一年，自闭了

首先发现对于一个 \(b\)，一定是找一个 \(\frac{a}{\gcd(a, b)}\) 最小的
发现这个 \(\gcd\) 是枚举的起的，那么最小的 \(a\) 是 \(\gcd\lceil\frac{l}{\gcd}\rceil\)
一个猜测是对于每个 \(i\in[l, r]\)，给 \(i\) 连边的时候一定是向 \([l, i-1]\) 范围内的点连
这样的话就可以每次取最小的直接连边了
但是它假了。并不知道哪里假了，打表发现假的（（（

那么可以不直接连边，而是仅对上面这些边跑 \(\tt kruskal\)
复杂度大约是 \(O(len \log^2 len)\) 级别的

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N 1000010
#define ll long long
#define int long long

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int l, r;
vector<int> divd[N];
int dsu[N], ans, tot;
struct edge{int u, v, val;}e[N<<1];
inline bool operator < (edge a, edge b) {return a.val<b.val;}
int gcd(int a, int b) {return !b?a:gcd(b, a%b);}
int lcm(int a, int b) {return a*b/gcd(a, b);}
inline int find(int p) {return dsu[p]==p?p:dsu[p]=find(dsu[p]);}

void kruskal() {
	sort(e+1, e+tot+1);
	for (int i=l; i<=r; ++i) dsu[i]=i;
	for (int i=1; i<=tot; ++i) {
		int s=find(e[i].u), t=find(e[i].v);
		if (s==t) continue;
		dsu[s]=t; ans+=e[i].val;
	}
}

signed main()
{
	l=read(); r=read();
	for (int i=1; i<=r; ++i)
		for (int j=i; j<=r; j+=i)
			divd[j].push_back(i);
	for (int i=l+1; i<=r; ++i)
		for (auto it:divd[i]) {
			int t=it*((l-1)/it+1);
			if (t<=i) e[++tot]={i, t, i*t/it};
		}
	kruskal();
	cout<<ans<<endl;
	
	return 0;
}