题解 [CF713C] Sonya and Problem Wihtout a Legend

CF713C Sonya and Problem Wihtout a Legend
CF13C Sequence

首先先有一个结论：最后的序列中的每个数字肯定是在原先的序列中出现过的数字
证明可以归纳证明，见蓝书P268

先将a数组排序后的结果存在一个b数组中
然后考虑DP，令 \(dp[i][j]\) 为考虑到第 \(i\) 个位置，将这个位置上的值调整为 \(b_j\) 的最小花费
转移的话

\[dp[i][j]=\min\limits_{0\leqslant k \leqslant j}\{dp[i-1][k]+|a_i-b_j|\} \]

这个DP是 \(O(n^3)\)的，如何优化呢？
发现可行的决策集合是单调增加的，也就是随着 \(k\) 增加，可行的决策值单调不降
什么意思呢？换个写法可能就显然多了

\[dp[i][j]=\min\limits_{0\leqslant k \leqslant j}\{dp[i-1][k]\}+|a_i-b_j| \]

于是记录一下前缀最小值即可 \(O(1)\) 转移了

然后加强版：
先扔几个链接和链接
先有一个技巧可以将单调递增弱化为单调不降，方法是将 \(a_i\) 变为 \(a_i-i\)
这样大概是在保证其相对大小？
然后可以slope trick处理
令 \(f_i(x)\) 为第 \(i\) 个数 \(\leqslant x\) 的最小花费
令 \(g_i(x)\) 为第 \(i\) 个数 \(=x\) 的最小花费
于是 \(g_i(x)=f_{i-1}(x)+|a_i-x|\)
这两个都是凸函数，于是 \(g\) 也是凸函数
f其实是g的前缀最小值
然后剩下的第个链接里的第三篇题解写的很详细
关于最终的统计答案：发现若合并一个 \(g\) 和绝对值时，多重集内已经存在一个比绝对值的拐点更靠右的点了
那么发现这个最小值将在 \(x\) 以右取到
所以对 \(f\) 的常数项的贡献是差值的绝对值

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 500010
#define ll long long
//#define int long long

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n;
ll a[N], ans;
priority_queue<ll> q;

signed main()
{
	n=read();
	for (int i=1; i<=n; ++i) a[i]=read();
	for (int i=1; i<=n; ++i) {
		q.push(a[i]);
		if (q.top()>a[i]) {
			ans+=q.top()-a[i];
			q.pop();
			q.push(a[i]);
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);

	return 0;
}