题解 [CF838F] Expected Earnings

传送门

有一个巨大的坑
若令 \(i, j\) 为状态「取了 \(i\) 个球，有 \(j\) 个是红球」
则可能的 \(k\) 的范围显然是 \([j, n-(i-j)]\)
但每个 \(k\) 在这个范围内的概率比已经与原来不同了，即不是 \(\frac{p_k}{\sum\limits_{t=j}^n p_t}\)
原因的话晚上问下战神
好的问完了
这个题概率的比例会变是因为红球的总数是不确定的
而在不同的红球总数下在每个位置出现红球的概率也是不一样的
于是当我们确定了某个地方是红球时，总数的概率比也就发生变化了
举个例子：\(k=1, 2, 3\) 的概率都是 \(\frac{1}{3}\)
于是情况有

1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1

而若我们确定了第一个球不是红球，则由上表可知有1个和2个红球的概率比由 \(1:1\) 变为了 \(2:1\)

• 若 \(P(B|A)\) 较好求而 \(P(A|B)\) 不好求，也许可以用贝叶斯公式将 \(P(A|B)\) 转化成 \(\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}\) 求解

这题推导的草稿纸夹在一本书里了……懒得抄上来了
那个优化P的地方很神奇可以看一看

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 100010
#define ll long long
//#define int long long

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n;
double dp[2][N], q[2][N], x;
#define now (i&1)

signed main()
{
	n=read(); x=read(); x/=1e6;
	for (int i=0; i<=n; ++i) q[n%2][i]=read(), q[n%2][i]/=1e6;
	for (int i=n-1; ~i; --i) {
		for (int j=0; j<=i; ++j) {
			q[now][j]=1.0*(j+1)/(i+1)*q[now^1][j+1]+1.0*(i+1-j)/(i+1)*q[now^1][j];
			if (q[now][j]<1e-18) continue;
			double p=q[now^1][j+1]*(j+1)/q[now][j]/(i+1);
			dp[now][j]=max(0.0, (1-p)*dp[now^1][j]+p*(dp[now^1][j+1]+1)-x);
		}
	}
	printf("%.10lf\n", dp[0][0]);
	
	return 0;
}