222222

• \(\sigma_0(ij) = \sum\limits_{x \mid i} \sum\limits_{y \mid j} [gcd(i, j)=1]\)，证明见这里
• \(f(n) = \sum\limits_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor =\sum\limits_{i=1}^n \sigma_0(i)\)，证明见下
  
• ，证明见这里（如果这也叫证明的话）
• \(\sigma_k(m)\sigma_k(n) = \sum\limits_{d \mid gcd(n, m)}d^k\sigma_k(\frac{nm}{d^2})\)，证明见这里