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• \(\varphi \ast 1= \operatorname{id}\)

• \(\mu \ast 1 = \varepsilon\)

• \(\mu \ast \operatorname{id} = \varphi\)，证明

• \(\operatorname{id} \ast \operatorname{id}=1\)，用法 \((\varphi\times \operatorname{id}) \ast \operatorname{id} = \operatorname{id}^2\) （即对 \(\varphi(i)\times i\) 进行杜教筛）好像假了

• 浅谈积性函数的线性筛法

• 若 \(f\) 是积性函数，要用线性筛预处理处理 \(h(n) = \sum\limits_{d \mid n} f(d)*\mu(\frac{n}{d})\)
  因为 \(h\) 是积性函数，并且线性筛枚举的都是最小质因子，所以

  \[\begin{aligned} h(n) &= \prod h(p_i^{k_i}) \\ &= \prod\sum\limits_{t=0}^{k_i} f(p_i^t)*\mu(p_i^{k_i-t}) \\ &= \prod f(p_i^{k_i})*\mu(1)+f(p_i^{k_i-1})*\mu(p_i) \\ &= \prod f(p_i^{k_i}) - f(p_i^{k_i-1}) \end{aligned}\]

  哦这个好像没什么用……但有的时候那个减法可以提出公因式变成乘法，那就有用了