题解：P3590 [POI 2015] TRZ

P3590 题解

题面

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思路

由于这个帖子没有人给出 hack，所以我就照着这个思路开始证明。

结论：最终答案的左端点在 $1\sim3$ 的位置之一或者右端点在 $n-2\sim n$ 的位置之一。

假设目前的字符串 a1 a2 a3 res a4 a5 a6，其中 $res$ 为当前的最优解。

1. $res$ 中只有一个字符 $ch$，则有两种情况。
   1. $|ch|=1$，则 $res$ 可以在 $a_{1\sim6}$ 里任意一个，所以满足结论。
   2. $|ch|>1$，则单独考虑 res a4，若 $a_4=ch$，则 $res$ 可以扩展；若 $a_4\neq ch$，则 $|a_4|=1$，此时 $|a_4|\neq|ch|$，所以在这种情况下，结论成立。
2. $res$ 中有多个字符，那么这三个字符的出现次数不一样，不妨设 $|B|>|C|>|S|$，则又有三种情况。
   1. $a_3=$ B 或 $a_4=$ B，则 $res$ 可以继续往外扩展。
   2. $a_3=$ C 或 $a_4=$ C，设 $a_4=$ C，若 $res$ 可以扩展到 $a_4$，则满足结论；若不能扩展到 $a_4$，则有 $|B|=|C|+1$，接下来考虑扩展 $a_3,a_5$，若 $a_3,a_5$ 中有一个为 B 或 C，则可以扩展；若 $a_3,a_5=$ S，于是考虑 a3 res 即 S res，若 $res$ 可以扩展到 $a_3$，则满足结论；若不能扩展，则有 $|C|=|S|+1$，于是联立下前面的式子，$res$ 里字母数量满足 $|B|=|C|+1=|S|+2$。继续讨论，若 $a_2=$ B，则 a2 a3 res a4 即 B S res C 满足题意；若 $a_2=$ C，则 a2 a3 res a4 即 C S res C 满足题意；若 $a_2=$ S，继续讨论 $a_1$，若 $a_1=$ B，则 a1 a2 a3 res 即 B S S res 满足题意；若 $a_1=$ S，则 a1 a2 a3 res 即 S S S res 满足题意；若 $a_1=$ C，继续讨论 $a_6$，若 $a_6=$ B，则 res a4 a5 a6 即 res C S B 满足题意；若 $a_6=$ C，则 res a4 a5 a6 即 res C S C 满足题意；若 $a_6=$ S，则 a1 a2 a3 res a4 a5 a6 即 C S S res C S S 满足题意。综上所述，当 $a_4=$ C 时，$res$ 可以扩展。
   3. $a_3,a_4=$ S（一个为 S 的情况上面已经讨论），若 a3 res 和 a3 res a4 都不能扩展，则有 $|B|=|C|+1=|S|+2$，接下来考虑 $a_2,a_5$，若 $a_2,a_5=$ B，则 a2 a3 res a4 即 C S res S 满足题意，$a_5$ 同理也满足题意；若 $a_2,a_5=$ S，则 a2 a3 res a4 即 S S res S 满足题意，$a_5$ 同理也满足题意；若 $a_2,a_5=$ C，继续考虑 $a_1,a_6$，若 $a_1,a_6=$ B，则 a1 a2 a3 res 即 B C S res 满足题意，$a_6$ 同理也满足题意；若 $a_1,a_6=$ C，则 a1 a2 a3 res 即 C C S res 满足题意，$a_6$ 同理也满足题意；若 $a_1,a_6=$ S，则 a1 a2 a3 res a4 a5 a6 即 S C S res S C 满足题意，$a_6$ 同理也满足题意。综上所述，$a_3,a_4=$ S 时，$res$ 可以扩展。

证毕，所以只要用前缀和记录下字符串字母出现的次数，一个个判断过去即可，时间复杂度为 $O(n)$。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int MN=1e6+5;
ll n,s[MN][3],ans=1;
char c[MN];
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
char gc(){char ch=getchar();while(ch!='B'&&ch!='C'&&ch!='S')ch=getchar();return ch;}
ll gs(char ch){if(ch=='C') return 0;if(ch=='B') return 1;return 2;}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1; i<=n; i++){
        c[i]=gc();
        s[i][gs(c[i])]++;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=0; j<3; j++) s[i][j]+=s[i-1][j];
    for(int i=1; i<=3; i++) for(int j=n; j>i; j--) if((s[j][0]-s[i-1][0]!=s[j][1]-s[i-1][1]&&s[j][1]-s[i-1][1]!=s[j][2]-s[i-1][2]&&s[j][0]-s[i-1][0]!=s[j][2]-s[i-1][2])||(s[j][0]-s[i-1][0]+s[j][1]-s[i-1][1]+s[j][2]-s[i-1][2]==s[j][0]-s[i-1][0])||(s[j][0]-s[i-1][0]+s[j][1]-s[i-1][1]+s[j][2]-s[i-1][2]==s[j][1]-s[i-1][1])||(s[j][0]-s[i-1][0]+s[j][1]-s[i-1][1]+s[j][2]-s[i-1][2]==s[j][2]-s[i-1][2])) ans=max(ans,(ll)j-i+1);
    for(int j=n; j>n-3; j--) for(int i=1; i<j; i++) if((s[j][0]-s[i-1][0]!=s[j][1]-s[i-1][1]&&s[j][1]-s[i-1][1]!=s[j][2]-s[i-1][2]&&s[j][0]-s[i-1][0]!=s[j][2]-s[i-1][2])||(s[j][0]-s[i-1][0]+s[j][1]-s[i-1][1]+s[j][2]-s[i-1][2]==s[j][0]-s[i-1][0])||(s[j][0]-s[i-1][0]+s[j][1]-s[i-1][1]+s[j][2]-s[i-1][2]==s[j][1]-s[i-1][1])||(s[j][0]-s[i-1][0]+s[j][1]-s[i-1][1]+s[j][2]-s[i-1][2]==s[j][2]-s[i-1][2])) ans=max(ans,(ll)j-i+1);
    write(ans);putchar('\n');
    return 0;
}