题解：P9565 [SDCPC 2023] Not Another Path Query Problem

P9565 题解

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思路

我们先设一个路径的与和为 $val$。

首先我们要知道按位与的操作从二进制下的每一位来看，最终的结果为 $1$ 的要求为路径上边的权值在这一位都为 $1$，然后既然在得到这个结果的过程按二进制拆开，那么我们比大小也按二进制下来比较。

那么对于两个数 $a,b$，若 $a>b$，则有两种情况：

1. $a$ 的最高位比 $b$ 高，如 $a=8,b=4$，100 和 10。
2. $a$ 的前几位和 $b$ 一样，在第一个不一样的位置 $a$ 为 $1$，$b$ 为 $0$，如 $a=5,b=4$，101 和 100。

于是接下来就可以考虑这道题的做法了。

我们就是考虑从大到小枚举路径的与和，并设置一个数 $num$，设当前枚举的是 $2^k$，如果 $V$ 的第 $k$ 位为 $1$，则令 $num\gets num+2^k$，否则就将所有满足 $w_i\&num=num$ 的边取出来，用一个并查集维护一下，然后一个个询问遍历过去，如果两个点联通，那么这个询问就输出 Yes，最后在判断 $w_i\&V=V$ 的边是否满足每一个询问。

于是就有人问了，为什么 $V$ 的第 $k$ 位为 $1$，就令 $num\gets num+2^k$，其实很简单，因为如果到当前部分询问还是 No，那么就说明目前得保证路径的 $val$ 大于等于 $V$，那么就得保证 $val$ 和 $V$ 的前几位相等，于是这个做法的正确性就是对的啦。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int MN=5e5+5;
ll n,m,k,v,fa[MN],sz[MN],ans[MN],num;
struct edge{ll u,v,w;}e[MN];
struct question{ll u,v;}q[MN];
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
ll find(ll x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void merge(ll x, ll y){
    x=find(x);y=find(y);
    if(x==y) return;
    if(sz[x]>sz[y]) swap(x,y);
    fa[x]=y;sz[y]+=sz[x];
}
int main(){
    n=read();m=read();k=read();v=read();
    for(int i=1; i<=m; i++) e[i].u=read(),e[i].v=read(),e[i].w=read();
    for(int i=1; i<=k; i++) q[i].u=read(),q[i].v=read();
    for(int i=1; i<=n; i++) fa[i]=i,sz[i]=1;
    for(int i=1; i<=m; i++) if((e[i].w&v)==v) merge(e[i].u,e[i].v);
    for(int i=1; i<=k; i++) if(find(q[i].u)==find(q[i].v)) ans[i]=1;
    for(int i=63; ~i; i--){
        num|=(1ll<<i);
        if(!((v>>i)&1)){
            for(int i=1; i<=n; i++) fa[i]=i,sz[i]=1;
            for(int i=1; i<=m; i++) if((e[i].w&num)==num) merge(e[i].u,e[i].v);
            for(int i=1; i<=k; i++) if(find(q[i].u)==find(q[i].v)) ans[i]=1;
            num^=(1ll<<i);
        }
    }
    for(int i=1; i<=k; i++) if(ans[i]) printf("Yes\n");else printf("No\n");
    return 0;
}