题解：CF2040C Ordered Permutations

CF2040C 题解

题面

定义一个序列 $a$ 的权值为 $\begin{aligned}\sum_{1\leqslant l\leqslant r\leqslant n} \min(a_l,a_{l+1},\cdots,a_r)\end{aligned}$ ，给定 $n$ 和 $k$ ，问长度为 $n$ 的排列中权值最大的所有排列中字典序排第 $k$ 大的排列，若没有则输出 -1。

思路

首先先分析一个数列的权值的求法，单看题目中给的式子有点难想什么时候是最大的，考虑分析排列中每个数字会造成的贡献，设 $i$ 的位置为 $p_i$ ， $i$ 左边第一个比 $i$ 小的数的位置为 $l_i$ ，右边第一个比 $i$ 小的数的位置为 $r_i$ ，则 $i$ 对序列的贡献为 $i\times(p_i-l_i)\times(r_i-p_i)$ 。

接下来考虑什么时候序列的权值会取到最大值，首先肯定要确保大的数尽可能的被多选，而对于一个序列的权值最大就为 $\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n} i\times(n-i+1)\end{aligned}$ 。

接下来考虑如何才会构成这种权值最大的情况，其实也很简单，首先我们知道对于一个数 $i$ 他的贡献为 $i\times(n-i+1)$ ，所以 $(p_i-l_i)\times(r_i-p_i)=n-i+1$ 。

容易想到（或者说暴力打个表），权值最大的排列的构造方式是从小到大放入每个数，每次放入一个数只能放在当前序列的最左边或者最右边，这样就可以满足每个数字的贡献。

所以权值最大的排列数为 $2^{n-1}$ ，所以若 $k>2^{n-1}$ ，则无解。

最后考虑字典序第 $k$ 大的排列，因为数字是从小到达放的，每个数字都有放左边或放右边两种选择，所以放入 $i$ 后还有 $2^{n-i-1}$ 种放法，即只要用 $k$ 与 $2^{n-i+1}$ 比较就可以决定当前 $i$ 是放最左端还是最右端，具体的有如下。

若 $k<=2^{n-i+1}$ ，则 $i$ 放左端。
若 $k>2^{n-i+1}$ ，则 $i$ 放右端，并将 $k$ 减去 $2^{n-i+1}$ 。

代码

赛时记录

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int MN=2e5+5;
ll n,k,ans[MN];
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
ll ksm(ll a, ll b){ll res=1;while(b){if(b&1)res=res*a;a=a*a;b>>=1;}return res;}
void solve(){
    for(int i=1; i<=n; i++) ans[i]=0;
    n=read();k=read();
    if(n<=40&&k>ksm(2,n-1)){write(-1);putchar('\n');return;}
    ll l=1,r=n,op=0;
    for(int i=1,j=n-2; i<n; i++,j--){
        if(j>40){ans[l++]=i;continue;}//作者怕爆 long long
        if(k>ksm(2,j)){
            ans[r--]=i;
            k-=ksm(2,j);
        }
        else{ans[l++]=i;}
    }
    ans[l]=n;
    for(int i=1; i<=n; i++) write(ans[i]),putchar(' ');putchar('\n');
}
int main(){
    ll T=read();while(T--)solve();
    return 0;
}