题解：P2425 小红帽的回文数

P2425 题解

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题意

给定 $t$ 个数，对于每个数 $n$，求一个最小的 $p$，使得 $n$ 在 $p$ 进制下是回文数。

思路

首先看到这道题就想要暴力，但是发现 $n\leqslant 10^{10}$，一看 $O(nt)$ 的暴力复杂度是不行的。

接下来考虑如何优化，注意到一个性质，当 $\sqrt n\leqslant p\leqslant n$ 时，$n$ 在 $p$ 进制下只有两位数，这个可以很好判，而 $p<\sqrt n$ 时直接暴力，暴力到了就直接下一个数，我们来推一下只有两位数的情况。

设 $p$ 满足题意，则有如下式子。

$$\exists i,i<p,i\times p+i=n$$

转化一下。

$$p=\frac{n}{i}-1$$

由于 $p$ 一定要是整数，所以只要从 $\sqrt n$ 开始（因为要满足 $\sqrt n\leqslant p\leqslant n$）从大到小（这样枚举到第一个满足条件的它所对应的 $p$ 一定是最小的）枚举 $i$，满足 $n\bmod i=0$ 且 $p>i$。

如果一个都没有枚举到，那么就输出 $n+1$，因为 $n+1$ 进制下的 $n$ 一定是 $n$，回文。

于是就可以快乐地对了这道题啦~

实现细节

1. 注意从大到小枚举 $i$。
2. 注意有没有 $i$ 的情况为 $n+1$。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int MN=64;
ll n,t[MN],l;
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
bool check(ll x, ll n){//判回文。
    l=0;//长度要初始化。
    while(n){
        t[++l]=n%x;//把每个数统计出来。
        n/=x;
    }
    for(int i=1; i<=l/2; i++) if(t[i]!=t[l-i+1]) return false;
    return true;
}
void solve(){
    n=read();
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++) if(check(i,n)){write(i);putchar('\n');return;}//暴力判断小于等于根号n。
    for(int i=sqrt(n); i>=1; i--) if(n%i==0&&n/i-1>i&&n/i-1>sqrt(n)){write(n/i-1);putchar('\n');return;}//只要加这一句就AC了！
    //枚举i*p+i=n的i，注意有if中的限制，由于要最小的p，那么就从大到小来枚举i。
    write(n+1);putchar('\n');//前面的都不行，n+1进制的n一定是n，回文。
}
int main(){
    ll T=read();while(T--)solve();
    return 0;
}