题解：CF1951D Buying Jewels

CF1951D 题解

题面

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题意

题意翻译成数学语言大概是这样的：

给定 $n,k(1\leqslant n,k\leqslant 10^{18})$，构造一个长度不超过 $60$ 的正整数序列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$，记 $b_0=n,c_i=\lfloor\frac{b_{i-1}}{a_i}\rfloor,b_i=b_{i-1}\bmod a_i$，序列 $c$ 满足 $\begin{aligned}\sum_{i=1}^{m}c_i=k\end{aligned}$。若有合法解请输出 YES 及其中一种，否则输出 NO。

思路

这题真的很想说一句是一个诈骗题，看到 $60$ 自然地想到了二进制，后来发现好像似乎只要输出两个数字，犹豫的提交一下就过了……没 $60$ 啥事情！

首先，分四种情况：

1. $k>n$，显然无解。
2. $k=n$，这个也很显然，直接摆一个商品为 $1$ 的价格即可。
3. $k\leqslant \lceil\frac{n}{2}\rceil$，这个就需要点小头脑构造了，首先 $a_1=n-k+1$，则 $c_1=\frac{b_0}{a_1}=\frac{n}{n-k+1}=1$，而 $b_1=b_0\bmod a_1=k-1$，接下来 $a_2=1,c_2=k-1,c_1+c_2=k$ 解决！
4. 对于剩下的 $k>\lceil\frac{n}{2}\rceil$ 的情况，是可以证明无解的。

证明：首先要是第一个人商品不为 $1$ 要买最多的物品数肯定第一个商品价格为 $2$。接下来分类讨论两种情况：

1. $n$ 是偶数，则最终选出来的物品数最多为 $\frac{n}{2}\leqslant\lceil\frac{n}{2}\rceil$。
2. $n$ 是奇数，则最终选出来的物品数最多为 $\frac{n}{2}+1\leqslant\lceil\frac{n}{2}\rceil$。

综上，当 $k>\lceil\frac{n}{2}\rceil$ 时无解。

所以，快去打代码过了这道题吧~

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll T,n,k; 
void write(ll n){if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
int main(){
	T=read();while(T--){
		n=read();k=read();
		if(n==k) printf("YES\n1\n1\n");
		else if(k<=(n+1)/2) printf("YES\n2\n%lld 1\n",n-k+1);
		else printf("NO\n");
	}
	return 0;
}