题解：SP5150 JMFILTER - Junk-Mail Filter（并查集学习笔记））

SP5150 题解

题面

原题传送门。

前置知识

1. 并查集。
2. 拥有 SPOJ 账号。

思路

首先这题很容易想到是并查集。（没学过的看后记。）

对于一个点 $i$，我们可以直接设 $pa_i$ 为 $i$ 的父节点。（跟的父节点设为自己。）

然后就是查询一个元素属于哪个集合的操作。（这很基础。）

long long find(long long x){
    if(pa[x]==x) return x;
    return pa[x]=find(pa[x]);//路径压缩，pa直接赋值为代表元素。 
}

接着，对于合并的操作，也是基础的，没有改动。

只要让 $x$ 的树根作为 $y$ 的树根的子节点。

void merge(long long x, long long y) {
    pa[find(x)]=find(y);
}

接下来就是初始化操作了，我们发现有了删除操作后，就需要“假点”这个东西，就是 $pa_{0,1,2,\cdots,n-1}$ 为真点，$pa_{n,n+1,n+2\cdots,2\times n-1}$ 为假点，$pa_{2\times n,2\times n+1,\cdots,2\times n+m}$ 是为了统计删除而存在的点。

void init(long long n, long long m) {
    cnt=2*n;
    ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) pa[i]=n+i;
    for(int i=n+1; i<=cnt+m+1; i++) pa[i]=i;
    memset(b,0,sizeof(b));
}

删除就很简单了，直接将要删除的节点指向一个新的节点即可，它就可以被分离。

void dele(int x){
    pa[x]=cnt++;
}

$cnt$ 为当前已用的点的数量。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath> 
using namespace std;
const int MN=10000005;
long long pa[MN],vis[MN],cnt,ans,n,m,x,y;
//pa[i]为自己的父亲节点。 
char ch;
void init(long long n, long long m) {
    cnt=2*n;
    ans=0;
    for(int i=0; i<n; i++) pa[i]=n+i;
    for(int i=n; i<=cnt+m; i++) pa[i]=i;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
}
long long find(long long x){
    if(pa[x]==x) return x;
    return pa[x]=find(pa[x]);//路径压缩，pa直接赋值为代表元素。 
}
void merge(long long x, long long y) {
    pa[find(x)]=find(y);//让 x 的树根作为 y 的树根的子节点。 
}
void dele(int x){
    pa[x]=cnt++;
}
int main(){
	long long i=0;
    while(1){
    	scanf("%lld %lld",&n,&m);
        if(!n&&!m) break;//要是两个都是0，结束程序。 
        init(n,m);//预处理 
        i++;
        while(m--){
        	cin>>ch;
            if(ch=='M'){
            	scanf("%lld %lld",&x,&y);
                merge(x,y);//合并 
            }
            else{
            	scanf("%lld",&x);
            	dele(x);//删除这个点。 
			}
        }
        for(int k=0; k<n; k++){
            int tmp=find(k);
            if(!vis[tmp]) ans++,vis[tmp]=1;
        }
        printf("Case #%lld: %lld\n",i,ans);
    }
    return 0;
}

帮你AC彻底

如果你和曾经的我和我的好同学一样一直 UKE，但是又注册不了 SPOJ 的账号，那就请点这里按教程注册。

总结

1. 编号从 $0$ 开始到 $n-1$，别错了。（曾经我可爱的同学就错了。）
2. 要有 SPOJ 的账号。（来自 $50$ 次 UKE 的倔强，和那之后的绝望。）
3. 并查集的基础算法及其单点删除。

后记（并查集学习笔记）

定义（功能）

并查集是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并支持合并于查询的结构。

思维实现

可以想到，使用一颗树形结构来存储每个集合树根是集合的代表元素。

于是我们可以用一个 $pa$ 数组来记录这个森林，$fa_x$ 为 $x$ 的父节点，查询是只要递归求即可，两个集合合并时将 $pa_{root1}=root2$。

然而，上述做法时间复杂度堪忧，于是就需要路径压缩优化或者按秩合并。（这种这里不多讲，基本优化路径压缩就够了。）

其实很简单，只要在查询的时候八方问过的每个节点都直接指向树根即可，因为我们只关心每个集合对应的树形结构的根节点是什么，而不是它的形态。

时间复杂度 $O(\log n)$

代码实现

1. 初始化：

每个元素都独立形成一个集合，可以看成有若干个节点数为 $1$ 的树，于是就将每个节点的父节点设为自己。

for(int i=1; i<=n; i++) pa[i]=i;

2. 查询操作

若 $x$ 是树根，则 $x$ 就是集合代表，否则递归访问 $pa_x$ 直至根节点。

long long find(long long x){
    if(pa[x]==x) return x;
    return pa[x]=find(pa[x]);//路径压缩，pa直接赋值为代表元素。 
}

3. 合并操作

让 $x$ 的树根作为 $y$ 的树根的子节点。

void merge(long long x, long long y) {
    pa[find(x)]=find(y);//让 x 的树根作为 y 的树根的子节点。 
}

好拉，你应该已经学会了吧，那就往上看做这道题吧。

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