CF1721E 题解（KMP学习笔记）

CF1721E 题解

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前置知识

KMP，基本的字符串函数。

（不懂 KMP 的可以翻到最底下看看后记）

思路

对于每个询问，其实只要把 $t$ 接在 $s$ 的后面跑 KMP 即可。（不懂 KMP 的看后记！）

但这样会 TLE。。。

很遗憾，那就多设一个数组 $last$。

设 $last_{i,j}$ 表示第 $i$ 个前缀的所有 border（最长公共前后缀）中，最长的使得下一位刚刚好是 $j$ 的位置。

如：若 $s_{i+1}=j$，则 $last_{i,j}=i$，否则 $last_{i,j}=last_{f_i,j}$

好了，不多说了，上代码！

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000025;
char s[N];
int n,m,q,last[N][35],f[N];
void init(){
	int j=0; 
    for(int i=2; i<=n; i++){
        while(j&&s[j+1]!=s[i]) j=f[j];
        f[i]=j+=s[j+1]==s[i];
    }
    for(int i=0; i<n; i++){
        for(int j=0; j<26; j++) last[i][j]=last[f[i]][j]; 
		last[i][s[i+1]-'a']=i;
    }
}
int main(){
    scanf("%s",s+1);//从1开始输入 
	n=strlen(s+1);//求原字符串的长度 
	init();//初始化 
	scanf("%d",&q); 
    while(q--){
        scanf("%s",s+n+1);//从n+1开始输入，直接接在原字符串后面 
		m=strlen(s+n+1);//求新输入的字符串的长度 
        for(int i=n+1; i<=n+m; i++){
            f[i]=0; 
			for(int j=0; j<26; j++) last[i][j]=0;
        }
        for(int j=0; j<26; j++) last[n][j]=last[f[n]][j]; 
		last[n][s[n+1]-'a']=n;
		int j=f[n];
        for(int i=n+1; i<=n+m; i++){
            if(s[j+1]!=s[i]) j=last[j][s[i]-'a'];
        	f[i]=j+=s[j+1]==s[i];
            printf("%d ",f[i]);
            for(int k=0; k<26; k++) last[i][k]=last[j][k]; 
			if(i!=n+m) last[i][s[i+1]-'a']=i;
        }
        printf("\n");//别忘了换行 
    }
    return 0;
}

后记

KMP

问题引入

P3375 【模板】KMP

算法简介

KMP 算法（Knuth-Morris-Pratt 算法）是一个字符串匹配算法。

即对于两个字符串 $s$ 和 $t$，长度分别为 $n$ 和 $m$。我们分别称它为文本串 $s$ 和模式串 $t$。

KMP 可以在 $O(n+m)$ 求得模式串 $t$ 在文本串 $s$ 中的所有出现位置和出现次数。

这里 $t$ 在 $s$ 中出现即为 $t$ 作为 $s$ 的子串。

在 KMP 算法中，我们需要对于模式串先预处理出一个 $fail$ 数组，记为 $f$ 数组。

$f[i]$ 表示 $t$ 的前缀 $t_0,t_1,\cdots,t_i$ 的 border 长度。

border 的中文意思为“最长公共前后缀”。对于某个字符串，他的 border 定义为该串最长的不为自身的前缀，使得该串存在一个后缀与这个前缀相同。

算法流程

朴素的暴力方法是枚举 $s$ 的每个长为 $m$ 的子串，暴力判断是否相同，时间复杂度 $O(nm)$。

暴力复杂度不太能接受。

也许在学习了哈希后你会想，上述过程是否可以用哈希优化呢？

但哈希在代码实现上比 KMP 更为复杂，以及常数较大、正确性上的问题也很难使得我们可以“舒服得”使用哈希代替 KMP。

而且 KMP 的核心思想与部分字符串问题的核心思想类似，即在失配的
时候，运用已经配对成功的前缀这个信息。

在匹配过程中，我们一般用两个双指针 $i,j$，分别指向 $s$ 串和 $t$ 串。

假设我们在 $s[i]$ 和 $t[j]$ 处发生失配，则：

• 若 $j==0$，则 $i++$。
• 若 $j>0$，则 $j=f[j - 1]$。

若配对成功，我们可以当作 $s[i]$ 和 $t[m]$ 发生失配，$j=f[m-1]$（$m$ 为 $t$ 的长度）。

上述过程中，每次配对成功 $i,j$ 都会加 $1$（最多 $n$ 次）。

失配时，若 $j==0$，则 $i$ 会加 $1$（最多 $n$ 次）。

若 $j>0$，则 $j$ 至少减少 $1$，显然也不超过增加时的 $n$ 次。也就是 $s$ 和 $t$ 串匹配的过程，时间复杂度为 $O(n)$ 的。

求 $fail$ 数组的部分与匹配的部分类似。

我们发现，前缀 $t_0,t_1,\cdots,t_i$ 的 border 去掉末尾的字符后，一定是前缀 $t_0,t_1,\cdots,t_{i-1}$ 的公共前后缀。

因此，我们考虑从前往后递推计算 $fail$ 数组。

设当前需要计算 $f[i]$，我们按长度从大到小遍历前缀 $t_0,t_1,\cdots,t_{i-1}$ 的所有公共前后缀。

若均未找到或找到某个公共前后缀，使得其后面加一个字符 $t_i$ 后能成为 $t_0,t_1,\cdots,t_i$ 的公共前后缀，即为所求 border。