CF776D题解

题意

有 $n$ 扇门和 $m$ 个开关，门的状态只有开和关两种，初始时只有部分的门是开的。每个开关可以控制多扇门，按下后可以改变对应的门的开关状态（开的关闭，关的开启）。保证每扇门只受两个开关控制，求最少多少次操作后所有的门都会被打开。

数据范围： $n,m\leqslant10^5$ 。

思路

每扇门只有两个状态（开和关），每个开关也只有两个状态（操作和不操作，因为操作偶数次等于不操作，奇数次等于操作一次）。两种变量看起来都适合做 2-SAT。

接下来考虑如何用条件在不同的状态间连边。注意到题目中的特殊条件“保证每扇门只受两个开关控制”，这说明如果想要门的状态不变，那么两个开关一定都按了或都没按；如果想要改变门的状态，那么两个开关肯定一个有按一个不按。
具体地，我们用 $0$ 和 $1$ 表示一个开关没按/按了。假设某一扇门由开关 $x,y$ 控制。如果这扇门一开始是关的，那么 $x$ 与 $y$ 一定一个取 $0$ 一个取 $1$ ，即连边为 $(x,0)\leftrightarrow(y,1),(x,1)\leftrightarrow(y,0)$ ；如果这扇门开始的时候已经开了，那么 $x$ 与 $y$ 一定取值相等，连边为 $(x,0)\leftrightarrow(y,0),(x,1)\leftrightarrow(y,1)$ 。之后跑 2-SAT 求解即可。