P1409题解

P1409 题解

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题意

题目的意思浅显易懂：

$n$ 个人站成一排，小明（临时演员）是第 $m$ 个人，每轮上帝会投一次筛子，分为以下情况：

若掷到 $1$ ，则队首的人获胜；
若掷到 $2$ ， $4$ ， $6$ ，则队首的人出队；
若掷到 $3$ ， $5$ ，则队首的人排到队尾。

问：小明有多少的胜率？（注意：输出保留九位小数）

思路

这不就是一道 dp 和数学结合起来的题吗？？？

分析

我们就设二维数组 $f[1005][1005]$ ， $f[i][j]$ 表示有 $i$ 个人，小明在第 $j$ 个位置，小明的胜率。

易知， $f[1][1]=1$ ，因为只有一个人的时候小明直接胜利！且由题意得 $j\leqslant i$ 。

接下来，我们需要把题目带进来，求出状态转移方程式（动态规划的递推式）。

掷到 $1$ ，则队首的人获胜，这时候，小明有 $\frac{1}{6}$ 的概率会输掉（对手的人胜利了，小明就输了）。
掷到 $2$ ， $4$ ， $6$ ，则队首的人出队，此时，队首的人有 $\frac{1}{2}$ 的概率会转回队尾，（那又是一个天道好轮回了……）也就是相当于小明又往前走了一步（ $j-1$ ），而总人数（ $i$ ）不变，表示为 $f[i][j-1]$ 。
掷到 $3$ ， $5$ ，则队首的人排到队尾，此时，队首的人有 $\frac{1}{3}$ 的概率出队，也就是相当于小明又往前走了一步（ $j-1$ ），而总人数却又少了一个人（ $i-1$ ），表示为 $f[i-1][j-1]$ 。

列出了上表，dp递推式也就很简单了，由于小明为主角，绝不能输，所以就不讨论第一种情况，所以，对于 $x$ ， $y$ （ $x\leqslant y$ ， $x$ ， $y$ 为正整数），都有 $f[x][y]$ ，此时有 $\frac{1}{2}$ 的概率跳到 $f[x][y-1]$ ；有 $\frac{1}{3}$ 的概率跳到 $f[x-1][y-1]$ 所以推出动态规划递推式：

$f[x][y]=\frac{1}{2}f[x][y-1]+\frac{1}{3}f[x-1][y-1]$ 。

最后小明就会跳到 $f[u][1]$ （ $u$ 为正整数且 $u\leqslant n$ ）（这里 $u$ 是代表当小明为第一个人时，总共还剩几人），小明就到了第一个，上帝要为他摇骰子了！而当小明为第一个时， $j=1$ ，所以没有 $f[u][0]$ 或 $f[u-1][0]$ ，所以我们要单独推当 $j=1$ 时的情况：他有 $\frac{1}{6}$ 的概率会胜利，而又会有 $\frac{1}{3}$ 的概率出局（要求小明的胜率，这种情况不讨论），也有 $\frac{1}{2}$ 跳到队尾，也就是跳到 $f[u][u]$ （又是一个天道好轮回），所以 $f[u][1]=\frac{1}{6}+\frac{1}{2} f[u][u]$ 。

这就可以推广到所有 $j=1$ 时的情况，因此我们就会建立这么多个循环往复的等式，这是一个连续的多元一次方程组，是容易解决的，观察一下系数，然后就可以用代入消元法解决了。（谢谢 Aw顿顿）

观察系数的代码如下：

for(int j=2; j<=i; j++){//观察系数
	sum=sum/2;
	num=num/2+f[i-1][j-1]/3;
}

总结：

坑点（也不算吧）：输出保留九位小数。
需要的基础：dp+数学（数论）。
dp 比较别致一点，因为 dp 数列可能会构成一个环，所以须要观察系数，然后就可以用代入消元法解决了。
当小明第一个人时，若遇到第二种情况，还需要重新排到队尾，千万不可结束，不然听取 WA 声一片。

废话不多说了，上总代码！

注释在代码里了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
double f[1005][1005];
int main(){
	cin>>n>>m;
	f[1][1]=1;//初始化！只有一个人的时候你直接胜利！别忘了写这一行
	for(int i=2; i<=n; i++){
		double sum=0.5,num=1.0/6.0;
		//1.0/6.0和1/6可有大区别了！
		//1/6=0.166666667……，取整一下为0
		//1.0/6.0则是相当于(double)1/6
		for(int j=2; j<=i; j++){//观察系数
			sum=sum/2;
			num=num/2+f[i-1][j-1]/3;
		}
		//不断将f[i][j-1]带入f[i][j],最终就可以求出下面二式
		f[i][i]=num/(1-sum);//解出了f[i][i]
		f[i][1]=f[i][i]/2+1.0/6.0;//解出了f[i][1]
		for(int j=2; j<i; j++) f[i][j]=f[i][j-1]/2+f[i-1][j-1]/3;//前面推出的解析式（递推式？到底说算是什么啊……）
	}
	printf("%.9lf",f[n][m]);//保留九位输出
	return 0;
} 
//P上水印