65.两个排序数组的中位数
该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：
- 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
- 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
- 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；
最终实现的代码为：
class Solution {
public:
/**
* @param A: An integer array.
* @param B: An integer array.
* @return: a double whose format is *.5 or *.0
*/
double findMedianSortedArrays(vector<int> A, vector<int> B) {
int m=A.size(),n=B.size();
int s=m+n;
if(s&0x01)//真为奇数
return findKth(A,B,0,0,m,n,s/2+1);
else
{
double a=findKth(A,B,0,0,m,n,s/2);
double b=findKth(A,B,0,0,m,n,s/2+1);
return (a+b)/2;
}
// return (findKth(A,B,0,0,m,n,s/2)+findKth(A,B,0,0,m,n,s/2+1))/2;
}
private:
double findKth(vector<int> A, vector<int> B,int start1,int start2,int m,int n,int k)
//start1，start2代表每个vector起始的下标;m,n代表各vector剩余的元素个数
{
//保证A是较短的数组,因为会出现数组长度小于k/2的情况，所以根据较小数组来定另一个数组
if(m > n) return findKth(B,A,start2,start1,n,m,k);
//m=0即代表数组arr1中已经没有元素了，所以中位数从B中找
if(m==0) return B[start2+k-1];
if(k==1) return min(A[start1],B[start2]);
int x=min(k/2,m),y=k-x;
if(A[start1+x-1]<B[start2+y-1])
return findKth(A,B,start1+x,start2,m-x,n,k-x);
else if(A[start1+x-1]>B[start2+y-1]) return findKth(A,B,start1,start2+y,m,n-y,k-y);//start2+y表示舍弃y前的元素
else return A[start1+x-1];
}
};
