反对称矩阵的性质（秩、合同矩阵）

反对称矩阵的特有性质

反对称矩阵$A = -A^T$

１．不存在奇数级的可逆反对称矩阵.

２．反对称矩阵的主对角元素全为零.

３．反对称矩阵的秩为偶数

４．反对称矩阵的特征值成对出现（实反对称的特征值为０或纯虚数）

５．反对称矩阵的行列式为非负实数

６．设A为反对称矩阵，则A合同于矩阵

$D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}$

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证明

数学归纳法可证6

因为Ａ为反对称矩阵，设

$A = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ -a_{12} & 0 & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & \dots & 0 \\ \end{bmatrix}$

(1)当ｎ= 1时 结论显然成立。

(2)当 n = 2时

若$a_{12} = 0$　结论显然也成立。
若$a_{12} \not=0 $，取$U = $$\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & a_{12}^{-1} \ \end{bmatrix}$$ $则有$U^TAU =
$$\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 &0 \ \end{bmatrix}$$ $，
所以Ａ与Ｄ合同。

(3)假定对于阶数小于ｎ时反对称矩阵A合同于Ｄ

现证明对$n(n \leq 3)$的反对称矩阵A也合同于D
若Ａ的第一行全为０，则有
$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix}$
其中Ｂ是n-1阶反对称矩阵，则存在n-1阶可逆矩阵Q与矩阵Ｄ，使得$Q^TBQ = D$
取$S = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q \\ \end{bmatrix}$
则$S^TAS = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & Q^TBQ \\ \end{bmatrix}$
再令$T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ I_{n-1} & 0 \\ \end{bmatrix}$
此处$I_{n-1}$ 是n-1阶单位矩阵
有$T^TS^TAST = \begin{bmatrix} Q^TBQ & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
取$P=ST$，则有
$P^TAP = \begin{bmatrix} Q^TBQ & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
则Ａ合同于Ｄ

2.若矩阵Ａ的第一行不全为０)
$A = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & & & \\ \vdots & & B & \\ -a_{1n} & & & \\ \end{bmatrix}$
不妨设$a_{12} \not= 0$，可对Ａ实施初等变换如下：
$A_2=Q_2^TAQ_2 = \begin{bmatrix} a_{12}^{-1} & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ -a_{12} & & & \\ \vdots & & B & \\ -a_{1n} & & & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{12}^{-1} & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \\ -1 & & & \\ \vdots & & B_2 & \\ -a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \\ \end{bmatrix}$
再取$Q_j = \begin{bmatrix} 1 & & & & & \\ & 1 & \dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & \dots & 0 \\ & & \ddots & & & \\ & & & 1 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad s.t. 3 \leq j \leq n$
可得$A_n = Q_n^T \dots Q_3^TA_2Q_3 \dots Q_n = \begin{bmatrix} 0 & 1 & \\ -1 & 0 & \\ & & B_n \\ \end{bmatrix}$
由于所作为对称式的变换，所以B_n依旧为反对称矩阵，所以存在n-2阶可逆矩阵S使得$S^TBS = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}$
令$Q = Q_2 \dots Q_n$且$S' = \begin{bmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & S \\ \end{bmatrix}$，此处$I_2$为２阶单位矩阵
则有$Q^TS^TASQ = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \\ -1 & 0 & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & \\ & & & 0 & 1 & & & \\ & & & -1 & 0 & & & \\ & & & & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}$
所以Ａ是Ｄ的合同矩阵。

引理

由上可知$A=UDU^T$，由于Ｕ为满秩（初等变换矩阵），所以Ａ的秩等于Ｄ的秩。
Ｄ的秩为偶数，所以Ａ的秩也为偶数，即，反对称矩阵的秩为偶数